Question

直线分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A、C、D三点．

(1) 写出点A、B、C、D的坐标；

(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

Answer 1

（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．

（2）因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，

所以  解得 

所以抛物线的解析式为y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，顶点G的坐标为(1，4)．

（3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG．

因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．

因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，那么．

Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况：

①当时，．解得．所以，．

②当时，．解得．所以，．

图2                         图3