Question

（2012•拱墅区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A，B两点，点P（a，b）是反比例函数y=

1

2x

在第一象限内的任意一点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y 轴于点N，PM，PN分别交直线AB于E，F，有下列结论：①AF=BE；②图中的等腰直角三角形有4个；③S_△OEF=

1

2

（a+b-1）；④∠EOF=45°．其中结论正确的序号是

②③④

．

Answer 1

分析：由P的坐标及四边形PNOM为矩形，表示出OM=a，即为E的横坐标，PM=b，即为F的纵坐标，又E和F都为直线y=-x+1上的点，将E的横坐标代入直线y=-x+1中求出E的纵坐标，将F的纵坐标代入直线y=-x+1中求出F的横坐标，进而确定出EM和NF，表示出PE及PF，然后三角形OEF的面积=矩形PNOM的面积-直角三角形NOF的面积-直角三角形OEM的面积-直角三角形PEF的面积，求出各自的面积代入，整理后即可求出三角形OEF的面积，可对选项③进行判断；由B和E的坐标，利用两点间的距离公式表示出BE的长，同理由A和F的坐标，表示出AF的长，可判断BE与AF是否相等；图中的等腰直角三角形有4个，分别为三角形AOB，三角形BNF，三角形PEF及三角形AEM，由直线y=-x+1，分别令x=0及y=0，求出对应的y与x的值，确定出A和B的坐标，进而得到OA=OB，由OA与OB垂直，可得出三角形AOB为等腰直角三角形，即∠OBA=∠OAB=45°，又∠BNF与∠EMA都为直角，可得出三角形BFN与三角形AEM都为直角三角形，同理三角形PEF也为等腰直角三角形，即可确定出图中等腰三角形有4个，选项②正确；由P为反比例函数图象上的点，将P的坐标代入反比例函数解析式中求出2ab=1，将表示出AF及BE代入AF•BE中，计算后将2ab=1代入，可得出AF•BE=1，又OA=OB=1，得到OA•OB=1，即AF•BE=OA•OB，变形后得到一个比例式，再根据夹角都为45°，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出三角形BOE与三角形AOF相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠BOE=∠AFO，而∠BOE=∠BOF+∠FOE，∠OFE为三角形BFO的外角，利用外角性质得到∠OFE=∠BOF+∠OBF，根据等式的性质及等量代换可得出∠FOE=∠OBF=45°，选项④，综上，得到所有正确的选项．

解答：解：∵P（a，b），∴OM=a，PM=b，
∴点E的横坐标为a，F的纵坐标为b，
又E和F都在直线y=-x+1上，
∴点E（a，1-a），点F（1-b，b），即OM=a，EM=1-a，ON=b，NF=1-b，
∴PE=PM-EM=b-（1-a）=a+b-1，PF=PN-NF=a-（1-b）=a+b-1，
∴S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF，
=ab-

1

2

a（1-a）-

1

2

b（1-b）-

1

2

（a+b-1）²
=

1

2

（a+b-1），选项③正确；
∵BE=

a2+(1-1+a)2

=

2

a，AF=

(1-1+b)2+b2

=

2

b，
∴BE与AF不一定相等，选项①错误；
∵直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A，B两点，
∴令x=0，求出y=1，即B（0，1）；令y=0，求出x=1，即A（1，0），
∵OA=OB=1，且∠AOB=90°，即△AOB为等腰直角三角形，
又∠BNF=90°，∠NBF=45°，
∴△BNF为等腰直角三角形，
同理△PEF和△AEM都为等腰直角三角形，
则图中等腰三角形有4个，选项②正确；
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠FAO=∠EBO=45°，
∵点P（a，b）是曲线y=

1

2x

上一点，
∴2ab=1，即AF•BE=

2

a•

2

b=2ab=1，
又∵OA•OB=1，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
又∠BOE=∠BOF+∠FOE，且∠AFO=∠OBF+∠BOF，
∴∠FOE=∠OBE，又∠OBE=45°，
则∠FOE=45°，选项④正确，
综上，正确选项的序号有：②③④．
故答案为：②③④．

点评：此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，点的坐标与平面图形，以及两点间的距离公式，是一道中考常考的题型．