Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=

4

3

，∠ADC=∠DAB=90°，P是腰BC上一个动点（不含点B、C），作PQ⊥AP交CD于点Q．（图1）
（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；
（2）当PQ=DQ时，求BP的长；（图2）
（3）设BP=x，CQ=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

Answer 1

（1）作BH⊥CD，垂足为H，（1分）
则四边形ABHD为矩形；
∴BH=DA=4，DH=AB=2；（1分）
在Rt△BCH中，tanC=

4

3

，
∴CH=

BH

tanC

=3，（1分）BC=

BH2+CH2

=5；（1分）
又CD=CH+DH=5，
∴S_梯形ABCD=

1

2

(AB+CD)AD=14；（1+1=2分）

（2）连接AQ，
由DQ=PQ，可知△ADQ≌△APQ，AP=AD=4；（1分）
作PE⊥AB交AB的延长线于点E，（1分）
在Rt△BPE中，tan∠PBE=tanC=

4

3

，
令BE=3k，PE=4k．
则在Rt△APE中，AP²=AE²+PE²，（1分）
即4²=（2+3k）²+（4k）²，解得：k=

4 21 -6

25

；（1分）
∴BP=

BE2+PE2

=5k=

4 21 -6

5

；（1分）

（3）作PF⊥CD交CD于点F，
由∠AEF=∠EFD=∠APQ=90°，
可得：△AEP∽△PFQ；
∴

QF

PF

=

EP

AE

，即

QF

4- 4 5 x

=

4 5 x

2+ 3 5 x

，
化简得：QF=

80x-16x2

50+15x

；（1分）
又CF=

3

4

PF=3-

3

5

x，
∴y=CF+FQ=(3-

3

5

x)+

80x-16x2

50+15x

=

-5x2+19x+30

3x+10

；（1分）
定义域为（0＜x＜5）．（1分）