Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点A的坐标为（2，2），点B、C在y轴上，BC=8，AB=AC，直线AB与x轴相交于点D，
（1）求C、D的坐标；
（2）求经过A、C、D三点的二次函数解析式；
（3）求∠CAD的正弦．

Answer 1

分析：（1）过A作BC的垂线，设垂足为H；根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到BH、CH的长，根据H点的坐标即可得到B、C的坐标；由于AH∥OD，根据平行线分线段成比例定理，即可求出OD的长，也就能得到D点的坐标；
（2）用待定系数法即可求出经过A、C、D的二次函数的解析式；
（3）欲求∠CAD的正弦值，需将∠CAD构建到一个直角三角形中，过C作AD的垂线，设垂足为E；在Rt△ABH中，根据勾股定理可求得AB、AC的长；以AB为底、CE为高，以BC为底、AH为高都可以求出△ABC的面积，那么根据其面积的不同表示方法即可求出线段CE的长，进而可在Rt△ACE中求出∠CAD的正弦值．

解答：解：（1）过点A作AH⊥BC于H（1分）
∵A的坐标为（2，2），AB=AC，BC=8，
∴BH=CH=4，
∴B（0，6），C（0，-2）（2分）
∵AH∥OD，
∴

BH

BO

=

AH

OD

∴

4

6

=

2

OD

，
∴OD=3
∴D（3，0）（1分）

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（2，2）、C（0，-2）、D（3，0）；
根据题意可得：

4a+2b+c=2 9a+3b+c=0 c=-2

，
解得：

a=- 4 3 b= 14 3 c=-2

；（3分）
所以所求的二次函数解析式为y=-

4

3

x2+

14

3

x-2；（1分）

（3）过点C作CE⊥AB于E（1分）
∵S△ABC=

1

2

•BC•AH=

1

2

•AB•CE
又∵AB=2

5

，BC=8，AH=2
∴CE=

8 5

5

（2分）
在Rt△CAE中，sin∠CAD=

CE

CA

=

8 5 5

2 5

=

4

5

．（1分）
（用其他方法求得CE的也得3分）

点评：此题主要考查了等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理、二次函数解析式的确定、三角形面积的求法以及锐角三角函数的定义等知识的综合应用能力．