Question

已知在△ABC中，∠A＝45°，AB＝7，tanB＝，动点P、D分别在射线AB、AC上，且∠DPA＝∠ACB，设AP＝x，△PCD的面积为y．

(1)求△ABC的面积；

(2)如图，当动点P、D分别在边AB、AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

(3)如果△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求线段AP的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)作CH⊥AB，垂足为点H．设CH＝m． 　　∵，∴　　(1分) 　　∵∠A＝45°，∴AH＝CH＝m．∴　　(1分) 　　∴m＝4　　(1分) 　　∴△ABC的面积等于　　(1分) 　　(2)∵AH＝CH＝4，∴． 　　∵∠DPA＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADP∽△ABC　　(1分) 　　∴，即．∴　　(1分) 　　作PE⊥AC，垂足为点E． 　　∵∠A＝45°，AP＝x，∴　　(1分) 　　∴所求的函数解析式为，即　　(1分) 　　定义域为　　(1分) 　　(3)由△ADP∽△ABC，得，即． 　　∴　　(1分) 　　∵△PCD是以PD为腰的等腰三角形，∴有PD＝CD或PD＝PC． 　　(i)当点D在边AC上时， 　　∵∠PDC是钝角，只有PD＝CD． 　　∴．解得　　(1分) 　　(ii)当点D在边AC的延长线上时， 　　，　　(1分) 　　如果PD＝CD，那么．解得x＝16　　(1分) 　　如果PD＝PC，那么． 　　解得，(不符合题意，舍去)　　(1分) 　　综上所述，AP的长为，或16，或32．