Question

【题目】如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，．是的外接圆，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求证：；

（3）在（2）的条件下，当时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

(1)BD与⊙O相切，如图1，连接OB证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；
(2)由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；
(3)如图2，连接CF，由等腰直角三角形的性质得到CF=BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得BF=+1，再利用相似三角形的性质证明DEEF=BEEC即可解决问题．

(1)如图1，连接OB，

∵OB=OF，

∴∠OBF=∠OFB．

∵∠ABC=90°，AD=CD，

∴BD=CD，

∴∠C=∠DBC．

∵DF⊥AC，，

∴∠ADF=90，

∴∠C+∠A=∠BFE+∠A=90，

∵∠C=∠BFE，

∴∠DBC=∠OBF，

∵∠CBO+∠OBF=90°，

∴∠DBC+∠CBO=90°，

∴∠DBO=90°，

∴BD是⊙O的切线；

(2)由(1)得：∠C=∠BFE，

在△ABC与△EBF中，

，

∴△ABC≌△EBF(AAS)；

(3)如图2，连接CF，

∵△ABC≌△EBF，∠CBF=90°，

∴BC=BF，

∴，

∵DF垂直平分AC，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵∠CED=∠BEF，∠CDE=∠EBF，

∴△CED∽△FEB，

∴，

∴．