Question

9．2015年十一黄金周商场大促销，某店主计划从厂家采购高级羽绒服和时尚皮衣两种产品共20件，高级羽绒服的采购单价y₁（元/件）与采购数量x₁（件）满足y₁=-20x₁+1500（0＜x₁≤20，x₁为整数）；时尚皮衣的采购单价y₂（元/件）与采购数量x₂（件）满足y₂=-10x₂+1300（0＜x₂≤20，x₂为整数）．
（1）经店主与厂家协商，采购高级羽绒服的数量不少于时尚皮衣数量，且高级羽绒服采购单价不低于1240元，问该店主共有几种进货方案？
（2）该店主分别以1760元/件和1700元/件的销售出高级羽绒服和时尚皮衣，且全部售完，则在（1）问的条件下，采购高级羽绒服多少件时总利润最大？并求最大利润．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意求出x的取值范围，结合x为整数，即可判断出商家的几种进货方案；
（2）令总利润为W，根据利润=售价-成本列出W与x的函数关系式W=30（x-9）²+9570，求出二次函数的最值即可．

解答 解：（1）设购买羽绒服x件，则购买皮衣（20-x）件，则：
$\left\{\begin{array}{l}{x≥20-x}\\{-20x+150≥1240}\\{0＜x≤20且x为整数}\end{array}\right.$，
∴10≤x≤13且为整数，
∴该店主有4种进货方案：
羽绒服10件，皮衣10件；
羽绒服11件，皮衣9件；
羽绒服12件，皮衣8件；
羽绒服13件，皮衣7件；
（2）设购买羽绒服x件，利润为W元，则
W=（1760+20x-1500）x+（1700+10（20-x）-1300）（20-x）
=30（x-9）²+9570（10≤x≤13且为整数）
∵a=30＞0，
∴当10≤x≤13且为整数是，W随x的增大而增大，
∴当x=13时，最大利润为10050元．
答：当采购羽绒服13件时，有最大利润为10050元．

点评 本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润，此题难度一般．