Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(-1，0)和点B(1，0)，直线与y轴交于点C，与抛物线交于点C，D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点A到直线CD的距离；

（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G，P，Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标.

Answer 1

（1）

解：在中，令，得

.

∴C(0，-1)

∵抛物线与x轴交于A(-1，0), B(1，0),

∴C为抛物线的顶点.

设抛物线的解析式为，

将A(-1，0)代入，得 0=a-1.

∴a=1.

∴抛物线的解析式为.

（2）（本小问5分）

方法一：

设直线与x轴交于E，

则，0).

∴,

.

连接AC，过A作AF⊥CD，垂足为F，

S_△CAE ，

即，

∴.

方法二：由方法一知，

∠AFE=90°，，.

在△COE与△AFE中，

∠COE=∠AFE=90°，

∠CEO=∠AEF，

∴△COE∽△AFE .

∴，

即.

∴.

（3）（本小问5分）

由，得，.

∴D(2，3).

如图1，过D作y轴的垂线，垂足为M，

由勾股定理，得

.

在抛物线的平移过程中，PQ=CD.

（i）当PQ为斜边时，设PQ中点为N，G(0，b)，

则GN=.

∵∠GNC=∠EOC=90°，∠GCN=∠ECO，

∴△GNC ∽△EOC．

∴，

∴，

∴b=4.

∴G(0，4) .  

（ii）当P为直角顶点时，

设G(0，b)，

则，

同（i）可得b=9，

则G(0，9) .

（iii）当Q为直角顶点时，

同（ii）可得G(0，9) .

综上所述，符合条件的点G有两个，分别是(0，4)，(0，9).