Question

15．如图，在线段AB取一点C（非中点），分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于F，连接BD交CE与于G，AE和BD交于点H，则下列正确结论的序号是①③④．
①AE=DB；②不另外添加线，图中全等三角形只有1对；③若连接FG，则△CFG是等边三角形；④若连接CH，则CH平分∠FHG．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得到∠ACD=∠BCE=60°，证得∠BCD=∠ACE，推出△ACE≌△DCB（SAS），根据全等三角形的性质得到AE=BD，故①正确，∠CAE=∠CDG，证得∠ACD=∠DCE，推出△ACF≌△DCG，同理△BCG≌△ECF，故②错误；根据全等三角形的性质得到CF=CG，由∠FCG=60°，得到△FCG是等边三角形；故③正确，过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，推出△ACM≌△DCN，根据全等三角形的性质得到CM=CN，根据角平分线的性质得到CH平分∠FHG，故④正确．

解答 解：∵△ACD与△BCE是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，故①正确，∠CAE=∠CDG，
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠DCE，
在△ACF与△DCG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠CDG}\\{AC=CD}\\{∠ACF=∠DCG}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△DCG，
同理△BCG≌△ECF，故②错误；
∵△ACF≌△DCG，
∴CF=CG，
∵∠FCG=60°，
∴△FCG是等边三角形；故③正确；
过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，
∴∠AMC=∠DNC=90°，
在△ACM与△DNC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠CDN}\\{∠AMC=∠DNC}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
∴CH平分∠FHG，故④正确，
故答案为：①③④．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，等边三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．