Question

3．已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0．
（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根x₁、x₂是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值．

Answer 1

分析 （1）先根据判别式的值得到△=1，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+k，再根据勾股定理得到x₁²+x₂²=5²，接着利用完全平方公式变形得到（x₁+x₂）²-2x₁x₂=25，则（2k+1）²-2（k²+k）=25，然后解方程后利用方程的两根为正数确定k的值．

解答 （1）证明：△=（2k+1）²-4（k²+k）
=1＞0，
所以无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+k，
∵x₁²+x₂²=5²，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=25，
∴（2k+1）²-2（k²+k）=25，
整理得k²+k-12=0，解得k₁=3，k₂=-4，
∵x₁+x₂=2k+1＞0，x₁x₂=k²+k＞0，
∴k的值为3．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，反过来也成立．也考查了根的判别式．