Question

如图，在平面直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上．直线CB的关系式为y=-

4

3

x+

16

3

，点A、D的坐标分别为（-4，0），（0，4）．动点P从A点出发，在AB边上匀速运动．动点Q从点B出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动．设点P运动t（s）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）．
（1）求点C的坐标；
（2）当t=3s时，求S的值；
（3）求S随t变化的函数关系式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）把y=4代入y=-

4

3

x+

16

3

，求得x的值，则可得点C的坐标；
（2）把y=0代入y=-

4

3

x+

16

3

，求得x的值，即可得点B的坐标，进而得出sin∠ABC=

CM

BC

=

4

5

，得出OP以及QN的值，进而得出答案；
（3）分别从0＜t＜4时，当4＜t≤5时与当5＜t≤6时去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）把y=4代入y=-

4

3

x+

16

3

，得x=1．
∴C点的坐标为（1，4）．

（2）当y=0时，-

4

3

x+

16

3

=0，
∴x=4．
∴点B坐标为（4，0），
如图1，作CM⊥AB于M，作QN⊥OB于N，
则CM=4，BM=3．
∴BC=

CM2+BM2

=

32+42

=5．
∴sin∠ABC=

CM

BC

=

4

5

．
当t=3s时，
可得AP=3，则PO=1，
BQ=3，则QN=

4

5

×3=

12

5

，
∴S=

1

2

OP•QN=

1

2

×1×

12

5

=

6

5

；

（3）①如图1，0＜t＜4时，作QN⊥OB于N，
则QN=BQ•sin∠ABC=

4

5

t．
∴S=

1

2

OP•QN=

1

2

（4-t）×

4

5

t=-

2

5

t²+

8

5

t（0＜t＜4）．
②当4＜t≤5时，（如图2），
连接QO，QP，作QN⊥OB于N．
同理可得QN=

4

5

t．
∴S=

1

2

OP•QN=

1

2

×（t-4）×

4

5

t=

2

5

t²-

8

5

t（4＜t≤5）．
③当5＜t≤6时，（如图3），
连接QO，QP．
S=

1

2

×OP×OD=

1

2

（t-4）×4=2t-8（5＜t≤6）．

点评：此题考查了点与函数的关系，三角形面积的求解方法．此题综合性很强，难度较大，解题时要注意分类讨论思想，方程思想与数形结合思想的应用．