Question

用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图①②③中的一种)．

设竖档AB＝x米，请根据以上图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行)

(1)在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？

(2)在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？

(3)在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？

Answer 1

解：(1)由题意，BC的长为(4－x)米．

依题意得x(4－x)＝3，即x²－4x＋3＝0.解得x₁＝1，x₂＝3.

即当AB的长度为1米或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米．

(2)S＝x(4－x)＝－x²＋4x＝－(x－)²＋3.∴当x＝时，S有最大值3.∴当x为时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米．

(3)S＝x(a－nx)＝－x²＋x＝－(x－)²＋.

∵－＜0，∴当x＝时，S有最大值，S_最大＝.

因此，当x为时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积是平方米．