题目内容

用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）
精英家教网
设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
（2）在图②中，如果不诱钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
分析：（1）先用含x的代数式（12-3x）÷3=4-x表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式列方程，求出x的值．
（2）用含x的代数式（12-4x）÷3=4-
4
3
x表示横档AD的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值．
（3）用含x的代数式（a-nx）÷3=
a
3
-
n
3
x表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值．
解答：解：（1）AD=（12-3x）÷3=4-x，
列方程：x（4-x）=3，
x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
答：当x=1或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米；

（2）AD=（12-4x）÷3=4-
4
3
x，
S=x（4-
4
3
x），
=-
4
3
x2+4x，
当x=-
4
2×(-
4
3
)
=
3
2
时，
S最大=
0-16
4×(-
4
3
)
=3，
答：当x=
3
2
时，矩形架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米；

（3）AD=（a-nx）÷3=
a
3
-
n
3
x，
S=x（
a
3
-
n
3
x），
=-
n
3
x2+
a
3
x，
当x=-
a
3
2×(-
n
3
)
=
a
2n
时
S最大=
-
a2
9
4×(-
n
3
)
=
a2
12n
．
答：当x=
a
2n
时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积是
a2
12n
平方米．
点评：本题考查的是二次函数的应用，（1）根据面积公式列方程，求出x的值．（2）根据面积公式得二次函数，利用二次函数的性质求最值．（3）根据面积公式得到字母系数的二次函数，然后求出函数的最大值．
练习册系列答案
相关题目
（2012•河北区三模）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行，材料本身面积忽略不计），设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：

（Ⅰ）在图①中，不锈钢材料总长度为12米，则AD表达式为
4-x
4-x
，若矩形框架ABCD的面积为3平方米，则可列方程为
x（4-x）=3
x（4-x）=3
．
（Ⅱ）在图②中，不锈钢材料总长度为12米，则AD表达式为
4-
4
3
x
4-
4
3
x
，若矩形框架ABCD的面积为S，请写出S与x的函数关系式
S=4x-
4
3
x2
S=4x-
4
3
x2
．
（Ⅲ）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，写出矩形框架ABCD的面积S与x的函数关系式
a-nx
3
x
a-nx
3
x
；当x为
a
2n
a
2n
时，S有最大面积等于
a2
12n
a2
12n
．
（2013•莆田质检）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图1，2中的一种）．

设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB平行）
（Ⅰ）在图1中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
（Ⅱ）在图2中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（2012•河东区一模）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图）现已知不锈钢材料总长度为12米，请你帮助分析，当竖档为多少米时，矩形框架的面积最大？最大面积是多少平方米？（题中的不锈钢材料总长度指图中所有线段的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答．也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．
（I）分析：
设竖档为x米，矩形框架的面积为y平方米．
根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：
AB的长（米） AD的长（米） 矩形框架ABCD的面积（平方米）
x y
（Ⅱ） （由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解）
用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行，材料本身面积忽略不计），设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：

（Ⅰ）在图①中，不锈钢材料总长度为12米，则AD表达式为______，若矩形框架ABCD的面积为3平方米，则可列方程为______．
（Ⅱ）在图②中，不锈钢材料总长度为12米，则AD表达式为______，若矩形框架ABCD的面积为S，请写出S与x的函数关系式______．
（Ⅲ）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，写出矩形框架ABCD的面积S与x的函数关系式______；当x为______时，S有最大面积等于______．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网