题目内容
如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，AE的垂直平分线FM交AB的延长线于F，交BC于P，连接EF，交BC于G，求EP：PC的值．
分析：设正方形ABCD的边长是2x，则AD=AB=CD=BC=2x，DE=CE=x，根据勾股定理求出AE，求出AM，证△FMA∽△ADE，得出
=
，求出AF，进一步求出BF，根据勾股定理求出FM，再证△PFB∽△AFM，得出
=
，求出BP=
x，计算CP，根据勾股定理求出EP，代入EP：PC即可求出答案．
| AF |
| AE |
| AM |
| DE |
| BP |
| AM |
| BF |
| FM |
| 1 |
| 4 |
解答：解：设正方形ABCD的边长是2x，则AD=AB=CD=BC=2x，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE=x，
∵正方形ABCD，
∴∠D=∠ABC=90°，
由勾股定理得：AE=
=
x，
∵AB∥CD，
∴∠FAE=∠DEA，
∵AE的垂直平分线FM，
∴AM=ME=
AE=
x，∠AMF=∠D=90°，
∴△FMA∽△ADE，
∴
=
，
∴AF=
x，
由勾股定理得：FM=
=
x，
∴BF=AF-AB=
x，
∵正方形ABCD，AE的垂直平分线FM，
∴∠FBP=∠FMA=90°，
∵∠PFB=∠AFM，
∴△PFB∽△AFM，
∴
=
，
∴BP=
x，
∴CP=2x-
x=
x，
由勾股定理得：EP=
=
x，
∴EP：PC的值是
．
答：EP：PC的值是
．
∵E是CD的中点，
∴DE=CE=x，
∵正方形ABCD，
∴∠D=∠ABC=90°，
由勾股定理得：AE=
| AD2+DE2 |
| 5 |
∵AB∥CD，
∴∠FAE=∠DEA，
∵AE的垂直平分线FM，
∴AM=ME=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴△FMA∽△ADE，
∴
| AF |
| AE |
| AM |
| DE |
∴AF=
| 5 |
| 2 |
由勾股定理得：FM=
| AF2-AM2 |
| 5 |
∴BF=AF-AB=
| 1 |
| 2 |
∵正方形ABCD，AE的垂直平分线FM，
∴∠FBP=∠FMA=90°，
∵∠PFB=∠AFM，
∴△PFB∽△AFM，
∴
| BP |
| AM |
| BF |
| FM |
∴BP=
| 1 |
| 4 |
∴CP=2x-
| 1 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
由勾股定理得：EP=
| CP2+CE2 |
| ||
| 4 |
∴EP：PC的值是
| ||
| 7 |
答：EP：PC的值是
| ||
| 7 |
点评：本题主要考查对正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用性质求出各线段的长是解此题的关键．题型较好，综合性强．
练习册系列答案
相关题目
19、如图：正方形ABCD，M是线段BC上一点，且不与B、C重合，AE⊥DM于E，CF⊥DM于F．求证：AE2+CF2=AD2．
如图，正方形ABCD中，E点在BC上，AE平分∠BAC．若BE=
如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（ ）
17、如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是
如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．