Question

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB，A、B两点的坐标分别是（-

1

2

，0），（0，1），C、D两点在反比例函数y=

k

x

（x＜0）的图象上，则k的值等于

 

．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：设点C坐标为（a，

k

a

），根据AC与BD的中点坐标相同，可得出点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式可得出k关于a的表达式，再由BC=2AB=

5

，可求出a的值，继而得出k的值．

解答：解：设点C坐标为（a，

k

a

），（a＜0），点D的坐标为（x，y）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD的中点坐标相同，
∵A、B两点的坐标分别是（-

1

2

，0），（0，1），
∴（a-

1

2

，

k

a

+0）=（x+0，y+1），
则x=a-

1

2

，y=

k

a

-1，
代入y=

k

x

，可得：k=a-2a² ①；
在Rt△AOB中，AB=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
∴BC=2AB=

5

，
故BC²=（0-a）²+（

k

a

-1）²=（

5

）²，
整理得：a⁴+k²-2ka=4a²，
将①k=a-2a²，代入后化简可得：a²=1，
∵a＜0，
∴a=-1，
∴k=-1-2=-3．
故答案为：-3．
方法二：
因为AB∥CD，所以点C、D的坐标是点A、B分别向左平移a，向上平移b得到的（a＞0，b＞0）．
故设点C坐标是（-a，2+b），点D坐标是（-1-a，b），
根据K的几何意义，|-a|×|2+b|=|-1-a|×|b|，
整理得2a+ab=b+ab，
解得b=2a．
过点D作x轴垂线，交x轴于H点，在直角三角形ADH中，
由已知易得AD=

5

，AH=a，DH=b=2a．
由勾股定理得AD²=AH²+DH²，即5=a²+4a²，
得a=1．
所以D坐标是（-

3

2

，2）
所以|K|=3，由函数图象在第二象限，所以k=-3．

点评：本题考查了反比例函数的综合题，涉及了平行四边形的性质、中点的坐标及解方程的知识，解答本题有两个点需要注意：①设出点C坐标，表示出点D坐标，代入反比例函数解析式；②根据BC=2AB=

5

，得出方程，难度较大，注意仔细运算．