已知:抛物线l1:y=-x2+bx+3交x轴于点A.B..交y轴于点C.其对称轴为x=1.抛物线l2经过点A.与x轴的另一个交点为E(5.0).交y轴于点D．(1)求抛物线l2的函数表达式,(2)P为直线x=1上一动点.连接PA.PC.当PA=PC时.求点P的坐标,(3)M为抛物线l2上一动点.过点M作直线MN∥y轴.交抛物线l1于点N.求点M自点A运动至点E的过程中.线段MN长度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知：抛物线l₁：y=-x²+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l₂经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，-$\frac{5}{2}$）．
（1）求抛物线l₂的函数表达式；
（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l₂上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l₁于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

分析（1）由对称轴可求得b，可求得l₁的解析式，令y=0可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得l₂的表达式；
（2）设P点坐标为（1，y），由勾股定理可表示出PC²和PA²，由条件可得到关于y的方程可求得y，可求得P点坐标；
（3）可分别设出M、N的坐标，可表示出MN，再根据函数的性质可求得MN的最大值．

解答解：（1）∵抛物线l₁：y=-x²+bx+3的对称轴为x=1，
∴-$\frac{b}{-2}$=1，解得b=2，
∴抛物线l₁的解析式为y=-x²+2x+3，
令y=0，可得-x²+2x+3=0，解得x=-1或x=3，
∴A点坐标为（-1，0），
∵抛物线l₂经过点A、E两点，
∴可设抛物线l₂解析式为y=a（x+1）（x-5），
又∵抛物线l₂交y轴于点D（0，-$\frac{5}{2}$），
∴-$\frac{5}{2}$=-5a，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-5）=$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$，
∴抛物线l₂的函数表达式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$；
（2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），
∴PC²=1²+（y-3）²=y²-6y+10，PA²=[1-（-1）]²+y²=y²+4，
∵PC=PA，
∴y²-6y+10=y²+4，解得y=1，
∴P点坐标为（1，1）；
（3）由题意可设M（x，$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$），
∵MN∥y轴，
∴N（x，-x²+2x+3），$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$
令-x²+2x+3=$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$，可解得x=-1或x=$\frac{11}{3}$，
①当-1＜x≤$\frac{11}{3}$时，MN=（-x²+2x+3）-（$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$）=-$\frac{3}{2}$x²+4x+$\frac{11}{2}$=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{4}{3}$）²+$\frac{49}{6}$，
显然-1＜$\frac{4}{3}$≤$\frac{11}{3}$，∴当x=$\frac{4}{3}$时，MN有最大值$\frac{49}{6}$；
②当$\frac{11}{3}$＜x≤5时，MN=（$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$）-（-x²+2x+3）=$\frac{3}{2}$x²-4x-$\frac{11}{2}$=$\frac{3}{2}$（x-$\frac{4}{3}$）²-$\frac{49}{6}$，
显然当x＞$\frac{4}{3}$时，MN随x的增大而增大，
∴当x=5时，MN有最大值，$\frac{3}{2}$×（5-$\frac{4}{3}$）²-$\frac{49}{6}$=12；
综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．