题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB=OC，（1）求点B的坐标；
（2）点P从C点出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OC，交折线C-B-O于点H，设点P的运动时间为t秒（0≤t≤10），
①是否存在某个时刻，使△OPH的面积等于△OBC面积的
？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②以P为圆心，PC长为半径作⊙P，当⊙P与线段OB只有一个公共点时，求t的值或t的取值范围．
【答案】分析：（1）根据已知，B点的纵坐标等于A点的纵坐标．OC=OB可知A、B在以坐标原点O为圆心，以OC长为半径的圆上，即可得出B点坐标；
（2）①首先根据已知条件，求出OB的一次函数解析式．进而确定出P点、H点的坐标．分别用t表示△OPH与△OBC的面积，再根据已知条件△OPH的面积等于△OBC面积的
，列出关于t的一元一次方程式．解方程即可求出t的值．
②首先确定B点、P点的坐标．再根据△OBP分别以OP、OB为底边的面积求法，列出关于t的等量关系式，解t即可．
解答：解：（1）∵AB∥OC，OC=OB，A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0）
∴对B点，
，
解得
；
∴B（6，8）；
（2）①分为两种情况：如图1，
CP=t，OP=10-t，
设直线CB的解析式是y=kx+b，
C（10，0）B（8，6）代入得：
，
解得：k=-3，b=30，
∴y=-3x+30，
把x=10-t代入得：y=-3（10-t）+30=3t，
∴PH=3t，
即S△OPH=
OP•PH=
×（10-t）×3t，
假如存在某个时刻，使△OPH的面积等于△OBC面积的
，
∴
×（10-t）×3t=
×8×10
3t2-30t+80=0，
b2-4ac=900-960＜0，
此方程无解，
即此时不存在某个时刻，使△OPH的面积等于△OBC面积的
；
如图2，
由（1）可知，正比例函数OB的解析式是y=
，
OP=10-t，
把x=10-t代入y=
x得：y=
（10-t）=
，
即PH=
，
S△OPH=
OP•PH=
×（10-t）×
（10-t）=
（10-t）2，
=
=40，
假设存在某个时刻，使△OPH的面积等于△OBC面积的
，
即：
（10-t）2=
×40．
解得t=7，经检验符合题意，
所以存在某个时刻，使△OPH的面积等于△OBC面积的
，此时t=7；
②第一种情况：如图2，连接PB，OB与圆P相切，切点为K，PC=t，
由（1）知B点的坐标为（6，8），
OB=
=10，
P点的坐标为（10-t，0），
对△OBP，
，即（10-t）×8=10×PK，
∴PK=
，
又∵PK、PC均为⊙P的半径，
∴PK=PC，即
=t，
解得t=
．
所以，当⊙P与线段OB只有一个公共点时，t=
．
第二种情况：当t=10时，P和O重合，此时PB=PC，即B在⊙P上、O在⊙P内，且⊙P和OB只有一个交点B；
当t=5时，O在⊙P上，当t＞5时，O在⊙P内，
∴当5＜t≤10时，⊙P和OB只有一个交点；
即当t=
或5＜t≤10时，⊙P和OB只有一个交点．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系、三角形面积的计算．解决①的关键是根据已知条件及三角形的面积列出关于t的一元一次方程式，进而得出结果；解决②的关键是将计算长度转化为同一三角形从不同角度来看面积的计算，进而求出未知长度．
（2）①首先根据已知条件，求出OB的一次函数解析式．进而确定出P点、H点的坐标．分别用t表示△OPH与△OBC的面积，再根据已知条件△OPH的面积等于△OBC面积的
，列出关于t的一元一次方程式．解方程即可求出t的值．②首先确定B点、P点的坐标．再根据△OBP分别以OP、OB为底边的面积求法，列出关于t的等量关系式，解t即可．
解答：解：（1）∵AB∥OC，OC=OB，A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0）
∴对B点，
，解得
；∴B（6，8）；
（2）①分为两种情况：如图1，
CP=t，OP=10-t，
设直线CB的解析式是y=kx+b，
C（10，0）B（8，6）代入得：
，解得：k=-3，b=30，
∴y=-3x+30，
把x=10-t代入得：y=-3（10-t）+30=3t，
∴PH=3t，
即S△OPH=
OP•PH=
×（10-t）×3t，假如存在某个时刻，使△OPH的面积等于△OBC面积的
，∴
×（10-t）×3t=
×8×103t2-30t+80=0，
b2-4ac=900-960＜0，
此方程无解，
即此时不存在某个时刻，使△OPH的面积等于△OBC面积的
；如图2，
由（1）可知，正比例函数OB的解析式是y=
，OP=10-t，
把x=10-t代入y=
x得：y=
（10-t）=
，即PH=
，S△OPH=
OP•PH=
×（10-t）×
（10-t）=
（10-t）2，
=
=40，假设存在某个时刻，使△OPH的面积等于△OBC面积的
，即：
（10-t）2=
×40．解得t=7，经检验符合题意，
所以存在某个时刻，使△OPH的面积等于△OBC面积的
，此时t=7；②第一种情况：如图2，连接PB，OB与圆P相切，切点为K，PC=t，
由（1）知B点的坐标为（6，8），
OB=
=10，P点的坐标为（10-t，0），
对△OBP，
，即（10-t）×8=10×PK，∴PK=
，
又∵PK、PC均为⊙P的半径，
∴PK=PC，即
=t，解得t=
．所以，当⊙P与线段OB只有一个公共点时，t=
．第二种情况：当t=10时，P和O重合，此时PB=PC，即B在⊙P上、O在⊙P内，且⊙P和OB只有一个交点B；
当t=5时，O在⊙P上，当t＞5时，O在⊙P内，
∴当5＜t≤10时，⊙P和OB只有一个交点；
即当t=
或5＜t≤10时，⊙P和OB只有一个交点．点评：本题考查了直线与圆的位置关系、三角形面积的计算．解决①的关键是根据已知条件及三角形的面积列出关于t的一元一次方程式，进而得出结果；解决②的关键是将计算长度转化为同一三角形从不同角度来看面积的计算，进而求出未知长度．
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