Question

【题目】如图，二次函数y=a（x2﹣4mx﹣12m2）（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣6），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的代数式表示a；

（2）求证：为定值；

（3）设该二次函数图象的顶点为F，连接FC并延长交x轴的负半轴于点G，判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形的面积是否能为24（+1）m2﹣48m﹣72+24，能则求出m；不能则说明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=；（2）见解析；（3）m=3．

【解析】

（1）把点C坐标代入y=a（x2﹣4mx﹣12m2）中，即可解决问题．
（2）如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．首先求出A、B两点坐标，由△ADM∽△AEN．推出设E坐标为可得推出x=8m，可得E（8m，10），由AM=AO+OM=2m+4m=6m，AN=AO+ON=2m+8m=10m，由此即可解决问题．
（3）如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H．连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．
由推出即得到OG=6m，可得

AD：GF：AE=3：4：5，由此即可解决问题．

（1）将C（0，﹣6）代入二次函数y=a（x2﹣4mx﹣12m2），

则﹣6=a（0﹣0﹣12m2），

解得a=；

（2）证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N，

由a（x2﹣4mx﹣12m2）=0，

解得x1=﹣2m，x2=6m，

则点A（﹣2m，0），B（6m，0），

∵CD∥AB，

∴点D的坐标为（4m，﹣6），

∵AB平分∠DAE，

∴∠DAM=∠EAN，

∴∠DMA=∠ENA=90°，

∴△ADM∽△AEN，

∴

设点E坐标为

∴x=8m，

∴E（8m，10），

∵AM=AO+OM=2m+4m=6m，AN=AO+ON=2m+8m=10m，

∴ 即为定值．

（3）如图2，记二次函数图象的顶点为F，则F的坐标为（2m，﹣8），过点F作FH⊥x轴于点H，

∵

∴即

∴OG=6m，

∵

∴

∵

∴AD：GF：AE=3：4：5，

∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，

∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形的面积为

∴

∴m=3或m=﹣1，

∵m＞0，

∴m=3．