Question

如图所示，已知四边形OABC是菱形，∠O=60°，点M是边OA的中点，以点O为圆心，r为半径作⊙O分别交OA，OC于点D，E，连接BM．若BM=，的长是．求证：直线BC与⊙O相切．

Answer 1

证明见解析

试题分析：过点O作OF⊥BC于F，过点B作BG⊥OA于G，则四边形BGOF为矩形，OF=BG。设菱形OABC的边长为2a，先在Rt△BMG中，利用勾股定理得出BG²+GM²=BM²，即（a）²+（2a）²=（）²，求得a=1，得到OF=，再根据弧长公式求出r=，则圆心O到直线BC的距离等于圆的半径r，从而判定直线BC与⊙O相切。　
证明：如图，过点O作OF⊥BC于F，过点B作BG⊥OA于G，则四边形BGOF为矩形，OF=BG.

设菱形OABC的边长为2a，则AM=OA=a．
∵菱形OABC中，AB∥OC，∠COA =60°，
∴∠BAG=∠COA=60°，∠ABG=90°﹣60°=30°。
∴AG=AB=a，BG=AG=a。
在Rt△BMG中，
∵∠BGM=90°，BG=aGM=a+a=2a，BM=，
∴BG²+GM²=BM²，即（a）²+（2a）²=（）²，解得a=1。∴OF=BG=。
又∵的长=，∴r=。
∴OF=r=，即圆心O到直线BC的距离等于圆的半径r。
∴直线BC与⊙O相切。