题目内容

如图（1），AB是半径为R的⊙O的一条弦，点P是⊙O上任意一点（与A、B不重合）若R=2，AB= $数学公式$
（1）若点P在⊙O优弧AB上，AP、BP分别与以AB为直径的圆交于C、D点
①请利用图（1）求∠APB的度数．
②请利用图（2）求CD的长．
（2）若点P是⊙O劣弧AB上一点，如图（3）AP、BP的延长线分别交以AB为直径的圆于C、D，你还能求出CD的长吗？若能，请求出CD的长；若不能，请说明理由．

解：（1）①连接OA，OB，过点O作OE⊥AB于E，
∵AB= $\text{[math]}$
∴OE= $\text{[math]}$
∵OA=2
∴sin∠AOE= $\text{[math]}$
∴∠AOE=60°
∴∠AOB=120°
∴∠APB=60°；

②设AB的中点，即圆心是M，连接CM，DM，
由①可知∠P=60°
∴∠A+∠B=120°
∵∠ACM=∠A，∠B=∠BDM
∴∠AMC+∠BMD=360°-240°=120°
∴∠CMD=180°-120°=60°
∴△CMD是等边三角形
∵AB=2 $\text{[math]}$
∴CD=CM=DM= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ ；

（2）设AB的中点，即圆心是M，连接CM，DM，
由（1）可知∠APB=180°-60°=120°

∴∠CDB+∠DCA=60°
∴∠AMD+∠CMB=120°
∴∠CDM=180°-120°=60°
同（1）②可得CD=CM=DM= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）①连接OA，OB，过点O作OE⊥AB于E，在构造的直角三角形中可求出sin∠AOE= $\text{[math]}$ ，即∠AOE=60°，求得∠P对应的圆心角的度数是120°，从而可求得∠P的值是60°．
②设AB的中点，即圆心是M，连接CM，DM，先根据三角形的内角和定理求出∠A+∠B=120°，∠CMD=180°-120°=60°，判定△CMD是等边三角形，即可求得CD的值；
（2）设AB的中点，即圆心是M，连接CM，DM，先根据同弧所对的圆心角等于所对的圆周角的2倍可得∠AMD+∠CMB=120°，再求得∠CDM=180°-120°=60°，同（1）②可得CD=CM=DM= $\text{[math]}$ AB．
点评：主要考查了相交两圆的性质和圆内接四边形的性质．当有60°角存在时作圆的半径构造等边三角形是常用的辅助线方法之一．要灵活的运用圆的有关基本性质，通过找到CD所对的圆心角的度数是个定值60°来判断CD的长也是个定值求得CD的长是本题中的难点．