Question

【题目】问题发现

（1）如图①，为边长为的等边三角形，是边上一点且平分的面积，则线段的长度为____；

问题探究

（2）如图②，中，点在上，点在上，若平分的面积，且最短，请你画出符合要求的线段，并求出此时与的长度．

问题解决

（3）如图③，某公园的一块空地由三条道路围成，即线段，已知米，米，的圆心在边上，现规划在空地上种植草坪，并的中点修一条直路(点在 上)．请问是否存在，使得平分该空地的面积?若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）MN=3，AM=2.5，作图见详解；（3）存在，使得平分该空地的面积，AM= 146（米）．

【解析】

（1）作CD⊥AB于点D，利用等边三角形三线合一的性质和直角三角形的性质求出AD的长，即可；
（2）经过平行四边形对角线的交点的直线将平行四边形的面积分成相等的两部分，当MN⊥BC时，MN最短，过A作AE⊥BC于点E，根据三角函数的定义，求AE的长，即是MN的长，再求出EN的长，即AM的长；

（3）作AC的垂直平分线EF交AB于点O，交AC于点D，则点O为所在圆的圆心，通过锐角三角函数的定义，求得OD的值，从而得，，在线段OB上取点M，连接PM，使OPM的面积=1050，进而求出OM，即可求出AM的值，然后得到结论．

（1）如图①，作CD⊥AB于点D，

∵为边长为的等边三角形，

∴AD=BD，

∴平分的面积，

∴CD=AC=×2=，

故答案是：；

（2）连接AC、BD交于点O，

过点O作直线MN，交AD于M，交BC于N，如图②，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OA=OC，AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，

∵∠AOM=∠CON，

∴△AOM≌△CON（ASA），

∴S△AOM=S△CON，

同理可得：△OMD≌△ONB，△AOB≌△COD，

∴S△OMD=S△ONB，S△AOB=S△COD，

∴S△AOM+S△AOB+S△BON=S△CON+S△COD+S△OMD，

即：MN将四边形ABCD分成面积相等的两部分，

当MN⊥BC时，MN最短，如图③所示，

过A作AE⊥BC于点E，

在Rt△ABE中，

∵∠ABC=60°，

∴sin60span>°=，

∴AE=×6=3，

∵AD∥BC，AE⊥BC，MN⊥BC，

∴MN=AE=3，

∴此时MN的长度为3，

∵AE∥MN，AO=CO，

∴EN=CN，

∵BE=AB=3，

∴CE=BC-BE=8-3=5，

∴EN=2.5，

∵AD∥BC，AE⊥BC，MN⊥BC，

∴四边形AENM是矩形，即：AM=EN=2.5；

（3）存在，使得平分该空地的面积，理由如下：

作AC的垂直平分线EF交AB于点O，交AC于点D，则点O为所在圆的圆心，如图④，

∵点P是的中点，

∴点P在直线EF上，

∵（米），（米），，

∴AC==200（米），AD=AC=100（米），

∵tan∠BAC=，

∴OD=AD=75（米），

∴（平方米），

∵（平方米），

∴（平方米），

∴图形OBCP的面积比图形AOP的面积多2100平方米，

∴在线段OB上取点M，连接PM，使OPM的面积=1050（平方米），即可．

∵sin∠BAC=，

∴OA=OD=×75=125（米），

∴OP=OA=125（米），

过点M作MN⊥EF于点N，

∴OPMN=1050，即：MN=2100÷125=（米），

∵MN∥AC，

∴AOD~MON，

∴，即：，解得：MO=21（米），

∴AM=AO+MO=125+21=146（米），

∵AM＜AB，

∴存在，使得平分该空地的面积，此时，AM= 146（米）．