Question

把两块完全一样的三角板如图1放置，其中∠BAO=∠CAO=30°，∠ABO=∠ACO=60°，B、O、C三点在同一条直线上，斜边AB=AC=6cm，动点P由B出发，沿折线B→A→C以每秒2cm的速度向C运动，同时动点Q从C出发以每秒

3

cm的速度向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为t秒．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如图2，把△OCA绕点O逆时针旋转，旋转后得到△OC′A′，当∠COC′=∠CAO 时，求△OC′A′与△ABC重叠部分的面积；
（3）如图3，在△OCA绕点O逆时针旋转的过程中（0°＜旋转角＜180°），设A′O所在直线与BA所在直线交点为E，是否存在点E使得△OAE为等腰三角形？若存在，直接写出线段OE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的面积公式S△BOQ=BP•BQ•sinB即可求解；
（2）可以证得△根据S_重叠=S_△OAB-S_△OBE-S_△ADF，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）分A是顶角顶点，则AE=OA，则E可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上，利用三角函数即可求得OE的长度；
当E是顶角的顶点时，AE=OE，在△AOE中，∠EAO=30°，则利用三角函数即可求得OE的长；
当O是顶角的顶点时，E在AB的延长线上，利用三角函数即可求得OE的长．

解答：解：（1）当0＜t≤3时，S=

1

2

（6-

3

t）×

3

t=-

3

2

t²+3

3

t．
当3＜t＜2

3

时，S=

1

2

（6-

3

t）•

3

2

（12-2t）=

3

2

t²-（3

3

+9）t+18

3

；
（2）S_重叠=S_△OAB-S_△OBE-S_△ADF=

1

2

×3×3

3

-

1

2

×3×

3 3

2

-

1

2

×

3 3 -3

2

×

9-3 3

2

=

27-9 3

4

；
（3）在直角△AOB中，OA=AB•cos∠BAO=6×

3

2

=3

3

，
1）当A是顶角顶点时，AE=OA=3

3

，
分两种情况，当E在线段AB上时，OE=

AE2+OA2-2AE•OA•cos30°

=

9 2 -3 6

2

，
当E在射线BA上时，OE=

AE2+OA2+2AE•OA•cos30°

=

9 2 +3 6

2

；
2）当E是等腰三角形的顶角的顶点时，OE=AE=

1 2 OA

cos30°

=

3 3 2

3 2

=3；
3）当O是等腰三角形的顶角顶点时，此时E在线段AB的延长线上，OE=OA=3

3

cm，
总之，存在点E，使得△OAE是等腰三角形，线段OE的长分别是：3或3

3

或

9 2 -3 6

2

或

9 2 +3 6

2

．

点评：本题考查了三角形的面积公式，以及三角函数，等腰三角形的性质，正确进行讨论是关键．