题目内容

已知a，b，c是直角三角形的三条边，且a＜b＜c，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是 ________．（只填序号）
①a²b²+h⁴=（a²+b²+1）h²；②b⁴+c²h²=b²c²；③由 $数学公式$ 可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是 $数学公式$ ．

②
分析：根据直角三角形的面积公式和勾股定理将各式化简，等式成立者即为正确答案．
解答：根据直角三角形的面积的不同算法，
有 $\text{[math]}$ ab= $\text{[math]}$ ch，
解得h= $\text{[math]}$ ．
①将h= $\text{[math]}$ 代入a²b²+h⁴=（a²+b²+1）h²，得
a²b²+（ $\text{[math]}$ ）⁴=（a²+b²+1）（ $\text{[math]}$ ）²，得
a²b²+（ $\text{[math]}$ ）⁴=（c²+1）（ $\text{[math]}$ ）²，得
a²b²+（ $\text{[math]}$ ）⁴=a²b²+ $\text{[math]}$ ，得
即（ $\text{[math]}$ ）⁴= $\text{[math]}$ ，
a²b²=c²，不一定成立，故本选项错误；
②将h= $\text{[math]}$ 代入b⁴+c²h²=b²c²，得
b⁴+c²（ $\text{[math]}$ ）²=b²c²，
b⁴+b²a²=b²c²，
整理得b⁴+b²a²-b²c²=0，
b²（b²+a²-c²）=0，
∵b²+a²-c²=0，
∴b²（b²+a²-c²）=0成立，故本选项正确；
③∵b²+a²=c²，
（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）²=a+b，
（ $\text{[math]}$ ）²=c，
∴不能说明（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ ）²，
故本选项错误；
④直角三角形的面积为 $\text{[math]}$ ab，随ab的变化而变化，所以无最大值，故本选项错误．
故答案为②．
点评：此题不仅考查了勾股定理，还考查了面积法求直角三角形的高，等式变形计算较复杂，要仔细．

已知a，b，c是直角三角形的三条边，且a＜b＜c，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是 ________．（只填序号）①a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；②b4+c2h2=b2c2；③由可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是．

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