Question

已知a，b，c是直角三角形的三条边，且a＜b＜c，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是

 

．（只填序号）
①a²b²+h⁴=（a²+b²+1）h²；②b⁴+c²h²=b²c²；③由

a

，

b

，

c

可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是

b2

2

．

Answer 1

分析：根据直角三角形的面积公式和勾股定理将各式化简，等式成立者即为正确答案．

解答：解：根据直角三角形的面积的不同算法，
有

1

2

ab=

1

2

ch，
解得h=

ab

c

．
①将h=

ab

c

代入a²b²+h⁴=（a²+b²+1）h²，得
a²b²+（

ab

c

）⁴=（a²+b²+1）（

ab

c

）²，得
a²b²+（

ab

c

）⁴=（c²+1）（

ab

c

）²，得
a²b²+（

ab

c

）⁴=a²b²+

a2b2

c2

，得
即（

ab

c

）⁴=

a2b2

c2

，
a²b²=c²，不一定成立，故本选项错误；
②将h=

ab

c

代入b⁴+c²h²=b²c²，得
b⁴+c²（

ab

c

）²=b²c²，
b⁴+b²a²=b²c²，
整理得b⁴+b²a²-b²c²=0，
b²（b²+a²-c²）=0，
∵b²+a²-c²=0，
∴b²（b²+a²-c²）=0成立，故本选项正确；
③∵b²+a²=c²，
（

a

）²+（

b

）²=a+b，
（

c

）²=c，
∴不能说明（

a

）²+（

b

）²=（

c

）²，
故本选项错误；
④直角三角形的面积为

1

2

ab，随ab的变化而变化，所以无最大值，故本选项错误．
故答案为②．

点评：此题不仅考查了勾股定理，还考查了面积法求直角三角形的高，等式变形计算较复杂，要仔细．