Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点．延长AG，与DC的延长线相交于点F，连接AD，GD，CG．则①∠ADC=∠FGC；②△ADF∽△CGF；③AD²=AG•AF；④FG•FD=FC•AF中正确的是

①②③

．（填写序号）

Answer 1

分析：连接AC，根据圆的内接四边形定理和圆周角定理以及相似三角形的判定和性质逐项分析即可．

解答：解：∵四边形ADCG是圆的内接四边形，
∴∠ADC=∠FGC，故①正确；
∵∠DAG=∠DAG，
∴△ADF∽△CGF，故②正确；
连接AC，
∵AB是直径，CD垂直AB，
∴AC=AD，而AC和AD都是同圆内相等的弦，
∴∠DGA=∠FDA，
∵∠DFA=∠DFA，
∴△FAD∽△DAG，
∴

AD

AG

=

AF

AD

，
∴AD²=AG•AF，故③正确，
而④选项给出的条件不足，没法证明其正确．
故答案为①②③．

点评：本题考查了圆的内接四边形定理和圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性很强．