题目内容
【题目】课题学习
问题背景1 甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题：如图1，E是边长为a的正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，
（1）①在图1中画出旋转后的图形；②图1中，与线段AE垂直的线段是 ，说明你的理由；
问题背景2 在正方形ABCD中，∠EAF=45°，点F为BC上一点，点E为DC上一点，∠EAF的两边AE、AF分别与直线BD交于点M、N．连接EF。继续探索时，
甲发现：线段BF，EF，DE之间存在着关系式EF=BF+DE；
乙发现：△CEF的周长是一个恒定不变的值；
丙发现：线段BN，MN，DM之间存在着关系式BN2+DM2=MN2
（2）请你对甲、乙、两三人中一个结论进行研究，作出判断，并说明你的理由。
【答案】(1) ①作图见解析;②AK⊥AE,理由见解析;(2) 甲、乙、丙三名同学的发现都是正确的.理由见解析.
【解析】试题分析: （1）根据图形旋转前后所构成的两图形全等画出图形即可；
（2）①选择甲，延长CB到K，使BK=DE，连AK，由图形旋转的性质可得△AKB≌△AED，可得出∠KAF=∠FAE，进而可得出△AKF≌△AEF，由全等三角形的性质及BK=DE可得出EF=BF+DE；
②选择乙，延长CB到K，使BK=DE，连AK，由图形旋转的性质可得△AKB≌△AED，由全等三角形的性质可得到△AKF≌△AEF，再根据BK=DE即可得出△CEF周长为定值；
③选择丙，在AK上截取AG=AM，连接BG，GN，由图形旋转的性质可得△ABG≌△ADM，△GAN≌△NAM，再由勾股定理即可得出BN2+DM2=MN2．
试题解析:
画图如图1，
延长CB至K，使BK=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB,∠ADE=∠ABK=∠BAD=90，
∴△ADE≌△ABK，
∴∠DAE=∠BAK，
∴∠EAK=∠BAK+∠BAE=∠DAK+∠BAE=∠BAD=90，
∴AK⊥AE.
故答案为AK⊥AE.
(2)选择甲发现：
证明：如图2，
延长CB到K,使BK=DE,连AK,则△AKB≌△AED，
∵∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠KAF=45°，
∴∠KAF=∠FAE.
∵AK=AE，AF=AF，
∴△AKF≌△AEF.
∴KF=EF.
又∵BK=DE，
∴EF=BF+DE
选择乙发现：
证明：如图2，
延长CB到K,使BK=DE,连AK,则△AKB≌△AED
∵∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠KAF=45°，
∴∠KAF=∠FAE.
∵AK=AE，AF=AF，
∴△AKF≌△AEF.
∴KF=EF.
又∵BK=DE，
∴EF=BF+DE
△CEF周长=CF+CE+EF=CF+CE+(BF+DE)=(CF+BF)+(CE+DE)=BC+DC=2a(定值)
选择丙发现：
证明：如图3，
在AK上截取AG=AM，连接BG，GN.
∵AG=AM，AB=AD，∠KAB=∠EAD，
∴△ABG≌△ADM，
∴BG=DM,∠ABG=∠ADB=45°.
又∵∠ABD=45°，
∴∠GBD=90°.
∵∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠KAF=45°，
∴∠KAF=∠FAE.
又∵AG=AM，AN=AN，
∴△GAN≌△NAM.
∴NG=MN，
∵∠GBD=90°，
∴BG +BN =NG ，
∴BN +DM =MN .
综上所述：甲、乙、丙三名同学的发现都是正确的。
点睛:本题考查的是图形的旋转,通过旋转,利用全等三角形,发现边的关系,再利用直角三角形的勾股定理找到三条线段的平方关系,利用构造法证明△AKF≌△AEF, △GAN≌△NAM是解答此题的关键.
