Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．

（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）直线CE与⊙O相切；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OE．欲证直线CE与⊙O相切，只需证明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；

（2）在直角三角形ABC中，根据三角函数的定义可以求得AB=，然后根据勾股定理求得AC=，同理知DE=1；

方法一、在Rt△COE中，利用勾股定理列出关于r的方程，从而易得r的值；

方法二、过点O作OM⊥AE于点M，在Rt△AMO中，根据三角函数的定义可以求得r的值．

试题解析：（1）直线CE与⊙O相切．理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；又∵∠ACB=∠DCE，∴∠DAC=∠DCE；连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；∵∠DCE+∠DEC=90°，∴∠AE0+∠DEC=90°，∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．

又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切．

（2）∵tan∠ACB==，BC=2，∴AB=BCtan∠ACB=，∴AC=；又∵∠ACB=∠DCE，∴tan∠DCE=tan∠ACB=，∴DE=DCtan∠DCE=1；

方法一：在Rt△CDE中，CE==，连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，，即，解得：r=；

方法二：AE=AD﹣DE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM=AE=，在Rt△AMO中，OA===.