Question

【题目】如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B（﹣1，0）和C，O为坐标原点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线y=x2+bx+c向上平移7个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

（3）将x轴下方的抛物线图象关于x轴对称，得到新的函数图象C，若直线y=x+k与图象C始终有3个交点，求满足条件的k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4（2）＜m＜（3）1或

【解析】试题分析：

（1）将A、B两点坐标代入即可解出的值，从而得到抛物线的解析式；

（2）将（1）中所得解析式配方，结合已知条件可得平移所得新抛物线的解析式及其顶点坐标；由A、B、C三点的坐标可求得直线AB、AC的解析式，由顶点分别落在AB和AC上可求得对应的“m”的值，即可得到“m”的取值范围；

（3）如图1，当直线和新的函数图象C有三个公共点时，直线分别处于图中的位置上；①由过点B，可求得此时“m”的值；②当直线处以的位置时，由图可知，此时直线和新的函数图象C在的范围内有1个公共点，由“一元二次方程根的判别式”可求得此时“m”的值；两者综合即可得到本题答案.

试题解析：

（1）∵经过点A（0，﹣4）的抛物线与x轴相交于点B（﹣1，0），

∴ ，解得： ，

∴ 抛物线解析式为；

（2）由（1）知，抛物线解析式为，

∴此抛物线向上平移7个单位长度、再向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得新抛物线的解析式为： ，

∴新抛物线的顶点P的坐标为，

对于抛物线当时，有 ，由此解得=﹣1或8，

∴C的坐标为（8，0），

又∵A（0，﹣4），B（﹣1，0），

∴可解得直线AB的解析式为y=﹣4x﹣4，直线AC的解析式为y=x﹣4，

由此可得：

①当顶点P在AB上时，可得： ，解得m=，

②当顶点P在AC上时，可得： ，解得m=，

∴综合①②可得，当点P在△ABC内时m的取值范围是： ；

（3）翻折后所得新图象如图1所示．

当直线和新图象C（其中翻折所得部分为）有三个公共点时，直线分别处在图中的位置上：

①当直线l位于l1时，此时直线过点B（﹣1，0），

∴0=﹣1+k，解得：k=1；

②∵当直线l位于l2时，此时直线与函数的图象有一个公共点，

∴方程，即有两个相等实根．

∴△=25﹣4（2k﹣8）=0，即k=．

综上所述，k的值为1或．