题目内容
如图，P是射线y=
x（x＞0）上的一动点，以P为圆心的圆与y轴相切于C点，与x轴的正半轴交于A、B两点．（1）若⊙P的半径为5，则P点坐标是______；A点坐标是______；以P为顶点，且经过A点的抛物线的解析式是______；
（2）在（1）的条件下，上述抛物线是否经过点C关于原点的对称点D，请说明理由；
（3）试问：是否存在这样的直线l，当P在运动过程中，经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l上？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）如果圆的半径为5，那么P点的横坐标为5，可根据直线O的解析式求出P点的横坐标，连接PA，过P作PQ⊥BA于M，那么PQ=OC，由此在直角三角形OPQ中，根据圆的半径和P点的纵坐标求出AM的长，即可求出A点的坐标，然后用顶点式二次函数通式设抛物线的解析式来设抛物线的，然后将A点坐标代入其中即可求出抛物线的解析式．
（2）由题意可知：D点必在y轴上，因此可根据（1）的抛物线的解析式求出其与y轴的交点，即可判断出D点是否在抛物线上．
（3）可仿照（1）的解题过程进行求解．可先根据直线OP的解析式设出P点的坐标，然后用P点的横坐标仿照（1）的方法求出A，B两点的坐标，然后用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的解析式，求出其顶点坐标，根据这个顶点坐标即可得出所求的直线解析式．
解答：解：（1）P（5，3）；
A（1，0）；
y=-
（x-5）2+3．
（2）C点关于原点的对称点D的坐标为（0，-3），
∵抛物线y=-
与y轴的交点（0，-
），
∴D点不在抛物线y=-
（x-5）2+3上．
（3）设P（m，n），m＞0，则n=
m，
过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，则AQ=BQ，
∵PA=PC=m，PQ=
，
∴AQ=
m，
∴A（
，B（
），C（0，
），
设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=a（x-
m）（x-
），
将C（0，
）代入解析式，
得a=
，
∴y=
（x-
m）（x-
m）
=
（x2-2mx+
m2）
=
[（x-m）2-
m2]
∴y=
（x-m）2-
m
∴抛物线的顶点坐标为（m，-
）
∴存在直线l：y=-
，
当P在射线y=
上运动时，过A，B，C三点的抛物线的顶点都在直线上．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、垂径定理、切线的性质等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．
（2）由题意可知：D点必在y轴上，因此可根据（1）的抛物线的解析式求出其与y轴的交点，即可判断出D点是否在抛物线上．
（3）可仿照（1）的解题过程进行求解．可先根据直线OP的解析式设出P点的坐标，然后用P点的横坐标仿照（1）的方法求出A，B两点的坐标，然后用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的解析式，求出其顶点坐标，根据这个顶点坐标即可得出所求的直线解析式．
解答：解：（1）P（5，3）；
A（1，0）；
y=-
（x-5）2+3．（2）C点关于原点的对称点D的坐标为（0，-3），
∵抛物线y=-
与y轴的交点（0，-），∴D点不在抛物线y=-
（x-5）2+3上．（3）设P（m，n），m＞0，则n=
m，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，则AQ=BQ，
∵PA=PC=m，PQ=
，∴AQ=
m，∴A（
，B（），C（0，），设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=a（x-
m）（x-），将C（0，
）代入解析式，得a=
，∴y=
（x-m）（x-m）=
（x2-2mx+m2）=
[（x-m）2-m2]∴y=
（x-m）2-m∴抛物线的顶点坐标为（m，-
）∴存在直线l：y=-
，当P在射线y=
上运动时，过A，B，C三点的抛物线的顶点都在直线上．点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、垂径定理、切线的性质等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．
练习册系列答案
相关题目
24、如图，C是射线OE上的一动点，AB是过点C的弦，直线DA与OE的交点为D，现有三个论断：①DA是⊙O的切线；②DA=DC；③OD⊥OB．请你以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，用序号写出一个真命题，用“★★?★”表示．并给出证明．我的命题是：
如图，P是射线y=
都在直线l上？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
如图，D是射线AB上一点，过点D作DE∥AC，交∠BAC平分线于E，过点D作DF⊥AE，垂足为F．
点都在直线l上？若存在，请求出直线l所对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．