Question

如图，P为△ABC的BC边上的点，PD∥AC，交AB于点D，PE∥AB，交AC于点E．已知△ABC的面积为5cm²，BC=2cm，设BP的长为x cm
（1）求△BPD的面积S₁与△CPE的面积S₂（用x表示）；
（2）求?ADPE的面积S关于x的函数解析式，并求S的最大值以及此时点P的位置．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：（1）根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方计算即可；
（2）根据?ADPE的面积S=△ABC的面积-△BPD的面积S₁-△CPE的面积S₂计算即可．

解答：解：（1）∵PD∥AC，
∴△BPD∽△BCA，
∴（

BP

BC

）²=

S1

5

，
∵ABC的面积为5cm²，BC=2cm，
∴S₁=

5

4

x²，
同理：S₂=

5

4

（2-x）²=

5

4

x²-5x+5；

（2）∵?ADPE的面积S=△ABC的面积-△BPD的面积S₁-△CPE的面积S₂，
∴S=-

5

2

x²+5x=-

5

2

（x-1）²+

5

2

，
∴当x=1时，S有最大值为

5

2

，此时P为BC中点．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的难度中等，是中考常见题型．