题目内容

如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC= $数学公式$ ，直线y= $数学公式$ 经过点C，交y轴于点G．
（1）点C、D的坐标分别是C，D；
（2）求顶点在直线y= $数学公式$ 上且经过点C、D的抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿直线y= $数学公式$ 平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

解：（1）令y=2 $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x-2 $\text{[math]}$ ，解得x=4，则OA=4-3=1，
∴C（4，2 $\text{[math]}$ ），D（1，2 $\text{[math]}$ ）；
故答案为（4，2 $\text{[math]}$ ）；（1，2 $\text{[math]}$ ）；

（2）由二次函数对称性得，顶点横坐标为 $\text{[math]}$ ，
令x= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
∴顶点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴设抛物线解析式为 $\text{[math]}$ ，把点 $\text{[math]}$ 代入得， $\text{[math]}$
∴解析式为 $\text{[math]}$

（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则 $\text{[math]}$
∴可设解析式为 $\text{[math]}$ ，
①当FG=EG时，FG=EG=2m，则 $\text{[math]}$ ，代入解析式得 $\text{[math]}$ ，
得m=0（舍去）， $\text{[math]}$ ，
此时所求的解析式为： $\text{[math]}$ ；
②当GE=EF时，FG=2 $\text{[math]}$ m，则F（0，2 $\text{[math]}$ m-2 $\text{[math]}$ ），
代入解析式得： $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m-2 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ m-2 $\text{[math]}$ ，解得m=0（舍去），m= $\text{[math]}$ ，
此时所求的解析式为：y= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ；
③当FG=FE时，不存在．
分析：（1）根据正方形的性质得到C点的纵坐标为2 $\text{[math]}$ ，然后代入直线y= $\text{[math]}$ ，即可得到C（4，2 $\text{[math]}$ ），D（1，2 $\text{[math]}$ ）；
（2）先求出顶点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），再利用顶点式求出抛物线的解析式；
（3）先设抛物线解析式为 $\text{[math]}$ ，然后分类讨论：①当FG=EG时，FG=EG=2m，则 $\text{[math]}$ ，代入解析式得： $\text{[math]}$ ，求m的值；②当GE=EF时，FG=2 $\text{[math]}$ m，则F（0，2 $\text{[math]}$ m-2 $\text{[math]}$ ），代入解析式得： $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m-2 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ m-2 $\text{[math]}$ ，求m的值；③当FG=FE时，不存在．
点评：本题考查了抛物线的性质和它的顶点式．同时也考查了正方形的性质以及一次函数的性质和分类讨论思想的运用．