Question

3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线．
（2）若CD=2$\sqrt{3}$，OP=1，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理得到∠ADC=∠ABC．则∠AFB=∠ADC，根据平行线的判定得CD∥BF，然后根据平行线的性质得BF⊥AB，最后根据切线的判定定理可得到结论；
（2）连接OC，如图，根据垂径定理得到CP=DP=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，然后利用勾股定理觉得OC即可．

解答 （1）证明：∵∠AFB=∠ABC，
而∠ADC=∠ABC．
∴∠AFB=∠ADC，
∴CD∥BF，
∵CD⊥AB，
∴BF⊥AB，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，如图，
∵AB⊥CD，
∴CP=DP=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，
在Rt△OCP中，OC=$\sqrt{O{P}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
即⊙O的半径为2．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和垂径定理．