Question

【题目】阅读下列材料，解答下列问题：

材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，称65362是“网红数”．

材料二：对任的自然数p均可分解为P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均为整数）如：5278＝52×100+10×7+8，规定：G（P）＝．

（1）求证：任两个“网红数”之和一定能被11整除；

（2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均为整数），当s+t为“网红数”时，求G（t）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）39

【解析】

（1）设两个“网红数”为，，（n、b表示末三位表示的数，m、a表示末三位之前的数字），则n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，所以+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），即可证明；

（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，所以s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2；①当1≤a≤5时，s+t＝，则﹣（b+1）能被11整除，即101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，由已知可得﹣7≤2a﹣2b+1≤11，求出a＝5，b＝0；②当6≤a≤7时，s+t＝，则﹣（b+2）能被11整除，所以101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，可得3≤2a﹣2b+1≤15，求出a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，分别求出相应的G（t）值即可．

解：（1）设两个“网红数”为，，（n、b表示末三位表示的数，m、a表示末三位之前的数字），

∴n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，

∵+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），

∴m、a、k、h都是整数，

∴91m+91n+h+k为整数，

∴任两个“网红数”之和一定能被11整除；

（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，

∴s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2，

①当1≤a≤5时，s+t＝，

则﹣（b+1）能被11整除，

∴101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，

∴2a﹣2b+1能被11整除，

∵1≤a≤5，0≤b≤5，

∴﹣7≤2a﹣2b+1≤11，

∴2a﹣2b+1＝0或11，

∴a＝5，b＝0，

∴t＝1642，G（1642）＝17.25；

②当6≤a≤7时，s+t＝，

则﹣（b+2）能被11整除，

∴101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，

∴2a﹣2b+1能被11整除，

∵6≤a≤7，0≤b≤5，

∴3≤2a﹣2b+1≤15，

∴2a﹣2b+1＝11，

∴a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，

∴t＝2742或3842，

∴G（2742）＝28或G（3842）＝39，

∴G（t）的最大值39．