Question

设x为正整数，则函数y=x2-x+

1

x

的最小值是多少？

Answer 1

分析：首先将原函数变形为：y=1+

(x-1)2(x+1)

x

，又由x为正整数，可得

(x-1)2(x+1)

x

≥0，即求得函数y=x2-x+

1

x

的最小值．

解答：解：∵y=x²-x+

1

x

=x（x-1）+1-

x-1

x

=1+

x2(x-1)-(x-1)

x

=1+

(x-1)(x2-1)

x

=1+

(x-1)2(x+1)

x

，
∵x为正整数，
∴

(x-1)2(x+1)

x

≥0，
当x=1时，

(x-1)2(x+1)

x

=0，
∴y=1+

(x-1)2(x+1)

x

≥1．
∴函数y=x2-x+

1

x

的最小值是1．

点评：此题考查了函数的最值问题．题目难度较大，解题的关键是将函数变形为y=1+

(x-1)2(x+1)

x

．