题目内容
【题目】知识背景
我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题
问题初探
如图（1），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由．
类比再探
如图（2），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作△MDE，使∠DME＝90°，MD＝ME，连接BE，则∠EBD＝ ．（直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线）
方法迁移
如图（3），△ABC是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE，则BD、BE、BC之间有怎样的数量关系？ （直接写出答案，不写过程）．
拓展创新
如图（4），△ABC是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE．猜想∠EBD的度数，并说明理由．
【答案】问题初探：BE＝CD，理由见解析；类比再探：∠EBD＝90°，辅助线见解析；方法迁移：BC＝BD+BE；拓展创新：∠EBD＝120°，理由见解析
【解析】
问题初探：根据余角的性质可得∠BAE＝∠CAD，然后可根据SAS证明△BAE≌△CAD，进而可得结论；
类比再探：过点M作MF∥AC交BC于点F，如图（5），可得△BMF是等腰直角三角形，仿问题初探的思路利用SAS证明△BME≌△FMD，可得∠MBE＝∠MFD=45°，进而可得结果；
方法迁移：根据等边三角形的性质和角的和差关系可得∠BAE＝∠CAD，然后可根据SAS证明△BAE≌△CAD，进而可得结论；
拓展创新：过点M作MG∥AC交BC于点G，如图（6），易证△BMG是等边三角形，仿方法迁移的思路利用SAS证明△BME≌△GMD，可得∠MBE＝∠MGB＝60°，进而可得结论．
解：问题初探：BE＝CD．
理由：如图（1），∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC，AE＝AD，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD；
类比再探：
在图（2）中过点M作MF∥AC交BC于点F，如图（5），则∠BMF=∠A=90°，∠BFM=∠C=45°，∴MB=MF，
∵∠DME＝∠BMF＝90°，∴∠BME＝∠DMF，
∵MB＝MF，ME＝MD，
∴△BME≌△FMD（SAS），
∴∠MBE＝∠MFD=45°；
∴∠EBD＝∠MBE+∠ABC＝90°．
故答案为：90°；
方法迁移：BC＝BD+BE．
理由：如图（3），∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC，AE＝AD，∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∴BC＝BD+CD＝BD+BE；
拓展创新：∠EBD＝120°．
理由：在图（4）中过点M作MG∥AC交BC于点G，如图（6），则∠BMG=∠A=60°，∠BGM=∠C=60°，
∴△BMG是等边三角形，∴BM=GM，
∵∠DME＝∠BMG＝60°，∴∠BME＝∠DMG，
∵ME＝MD，∴△BME≌△GMD（SAS），
∴∠MBE＝∠MGB＝60°，
∴∠EBD＝∠MBE+∠MBG＝120°．
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