Question

已知a、b是关于x的一元二次方程x²-2mx+m²+4m-2=0的两个实数根，那么a²+b²的最小值是

1

2

．

Answer 1

分析：利用根与系数的关系表示出a+b，ab，再根据完全平方公式整理成关于m的式子，再利用根的判别式求出m的值，然后根据二次函数的增减性求出最小值．

解答：解：由根与系数的关系得，a+b=2m，ab=m²+4m-2，
所以，a²+b²=（a+b）²-2ab，
=4m²-2（m²+4m-2），
=2m²-8m+4，
=2（m-2）²-4，
∵方程有两个实数根，
∴△=b²-4ac=（-2m）²-4×1×（m²+4m-2）≥0，
解得m≤

1

2

，
∵2＞0，
∴m＜2时，a²+b²的值随m的增大而减小，
∴当m=

1

2

时，a²+b²的值最小，为2（

1

2

-2）²-4=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了根与系数的关系，完全平方公式，根的判别式，难点在于利用根的判别式求出m的取值范围．