题目内容

如图，在直角坐标系中，半径为1的⊙A圆心与原点O重合，直线l分别交x轴、y轴于点B、点C，若点B的坐标为（6，0）且tan∠ABC=．
（1）若点P是⊙A上的动点，求P到直线BC的最小距离，并求此时点P的坐标；
（2）若点A从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿着线路OB-BC-CO运动，回到点O停止运动，⊙A随着点A的运动而移动．
①求⊙A在整个运动过程中所扫过的面积；
②在⊙A整个运动过程中，⊙A与△OBC的三边相切有______种不同的情况，分别写出不同情况下，运动时间t的取值______．

【答案】分析：（1）利用点B的坐标为（6，0）且tan∠ABC=，即可得出C点坐标，进而利用△OPH∽△CBO，求出P点坐标即可；
（2）①利用⊙A在整个运动过程中所扫过的面积=矩形DROC面积+矩形OYHB面积+矩形BGFC面积+△ABC面积+一个圆的面积-△LSK面积，求出即可；
②利用相似三角形的判定与性质得出t的值即可，注意利用数形结合得出．
解答：解：（1）∵点B的坐标为（6，0）且tan∠ABC=，
∴=，
∴=，
∴AC=8，
故C点坐标为：C（0，8），
∴BC=10，
过O作OG⊥BC于G，
则OG与⊙A的交点即为所求点P．
过P作PH⊥x轴于H，
∵PH⊥AB，
∴∠OHP=90°，
∵∠POH+∠COP=90°，∠POC+∠OCG=90°，
∴∠POH=∠OCG，
又∵∠COB=90°，
∴△OPH∽△CBO，
∴===，
可得，
∴；

（2）①如图2所示：当圆分别在O，B，C位置时，作出公切线DR，YH，FG，PW，切点分别为：D，R，H，G，F，P，W
连接CD，CF，BG，过点K作KX⊥BC于点X，PW交BC于点U，
∵PU∥OB，
∴∠OBC=∠KUX，
∵∠KXU=∠COB=90°，
∴△COB∽△KXU，
∵KX=1，BC==10，
∴=，
∴=，
解得：KU=，
∵PU∥BO，
∴△CPU∽△COB，
∴=，
∴=，
解得：PU=，
则SK=--1=3，
同理可得出：△LSK∽△COB，
∴=，
∴=，
解得：LS=4，
则∠CDR=∠CFG=∠BGF=∠BHY=∠AYH=90°，
故⊙A在整个运动过程中所扫过的面积
=矩形DROC面积+矩形OYHB面积+矩形BGFC面积+△ABC面积+一个圆的面积-△LSK面积，
=1×8+1×6+1×10+×6×8+π-×3×4
=42+π；

②如图3所示：⊙A与△OBC的三边相切有6种不同的情况，
 当⊙O2与BC相切于点N，
则O2N⊥BC，
∵∠OBC=∠O2BN，∠O2NB=∠COB=90°，
∴△O2NB∽△COB，
∴=，
∴=，
解得：O2B=，
则OO2=6-=，则t的值为：秒，
同理可得出：O3，O4，O5的位置，即可得出时间t的值，
故t=1、、、、、23．
故答案为：6； 1、、、、、23．
点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键，注意不要漏解．
练习册系列答案
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18、如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑦的直角顶点的坐标为
（24，0）
．
精英家教网如图，在直角坐标系中，点P的坐标为（3，4），将OP绕原点O逆时针旋转90°得到线段OP′．
（1）在图中画出线段OP′；
（2）求P′的坐标和
PP′
的长度．
如图，在直角坐标系中，O为原点．反比例函数y=
6
x
的图象经过第一象限的点A，点A的纵坐标是横坐标的
3
2
倍．
（1）求点A的坐标；
（2）如果经过点A的一次函数图象与x轴的负半轴交于点B，AC⊥x轴于点C，若△ABC的面积为9，求这个一次函数的解析式．
（3）点D在反比例函数y=
6
x
的图象上，且点D在直线AC的右侧，作DE⊥x轴于点E，当△ABC与△CDE相似时，求点D的坐标．
如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-6，0），B（-4，6），C（0，2）．画出△ABC的两个位似图形△A1B1C1，△A2B2C2，同时满足下列两个条件：
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（1）△AOB的面积是
6
6
；
（2）三角形（2013）的直角顶点的坐标是
（8052，0）
（8052，0）
．

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