Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+(4a﹣1)x﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC=2OB，点D为线段OB上一动点(不与点B重合)，过点D作矩形DEFH，点H、F在抛物线上，点E在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当矩形DEFH的周长最大时，求矩形DEFH的面积；

（3）在（2）的条件下，矩形DEFH不动，将抛物线沿着x轴向左平移m个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N．若MN恰好平分矩形DEFH的面积，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣4；（2）10；（3）m的值为．

【解析】

（1）先求出点C的坐标，由OC＝2OB，可推出点B坐标，将点B坐标代入y＝ax2＋（4a﹣1）x﹣4可求出a的值，即可写出抛物线的解析式；

（2）设点D坐标为（x，0），用含x的代数式表示出矩形DEFH的周长，用函数的思想求出取其最大值时x的值，即求出点D的坐标，进一步可求出矩形DEFH的面积；

（3）如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，依次求出直线BH，MN的解析式，再求出点M的坐标，即可得出m的值．

解：（1）在抛物线y＝ax2＋(4a﹣1)x﹣4中，

当x＝0时，y＝﹣4，

∴C(0，﹣4)，

∴OC＝4．

∵OC＝2OB，

∴OB＝2，

∴B(2，0)，

将B(2，0)代入y＝ax2＋(4a﹣1)x﹣4，得：a＝，

∴抛物线的解析式为y＝x2＋x﹣4；

（2）设点D坐标为(x，0)．

∵四边形DEFH为矩形，

∴H(x， x2＋x﹣4)．

∵y＝x2＋x﹣4＝(x＋1)2﹣，

∴抛物线对称轴为x＝﹣1，

∴点H到对称轴的距离为x＋1，

由对称性可知DE＝FH＝2x＋2，

∴矩形DEFH的周长C＝2(2x＋2)＋2(﹣x2﹣x＋4)＝﹣x2＋2x＋12＝﹣(x﹣1)2＋13，

∴当x＝1时，矩形DEFH周长取最大值13，

∴此时H(1，﹣)，

∴HF＝2x＋2＝4，DH＝，

∴S矩形DEFH＝HFDH＝4×＝10；

（3）如图，

连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，

过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，

由（2）知，抛物线对称轴为x＝﹣1，H(1，﹣)，

∴G(﹣1，﹣)，

设直线BH的解析式为y＝kx＋b，

将点B(2，0)，H(1，﹣)代入，

得：，解得：，

∴直线BH的解析式为y＝x﹣5，

∴可设直线MN的解析式为y＝x＋n，

将点(﹣1，﹣)代入，得n＝，

∴直线MN的解析式为y＝x＋，

当y＝0时，x＝﹣，

∴M(﹣，0)．

∵B(2，0)，

∴将抛物线沿着x轴向左平移个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，

连接M、N，则MN恰好平分矩形DEFH的面积，

∴m的值为．