Question

4．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC上一点，以OC为半径的⊙O与CD交于点M，且∠BAC=∠DAM．
（1）求证：AM与⊙O相切；
（2）若AM=3DM，BC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）首先连接OE，由四边形ABCD是矩形，∠BAC=∠DAM，可证得∠OMC+∠DMA=90°，即可得∠AMO=90°，则可证得AM与⊙O相切；
（2）易证得△BAC∽△DAM，由相似三角形的性质得到$\frac{BC}{DM}$=$\frac{AC}{AM}$，得到$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DM}{AM}$，根据AM=3DM，BC=2求得AC=6，在△DAM中，根据勾股定理得DM²+AD²=AM²，即可求得DM和AM，在△AMO中，根据AM²+MO²=AO²求得OM的长，即可得⊙O的半径．

解答 （1）证明：连接OM．
在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°
∴∠BAC=∠DCA，
∵OM=OC，
∴∠OMC=∠OCM．
∵∠BAC=∠DAM，
∴∠DAM=∠OMC．
∴∠OMC+∠DMA=∠DAM+∠DMA．
在△DAM中，∠D=90°，
∴∠DAM+∠DMA=180°-90°=90°．
∴∠OMC+∠DMA=90°．
∴∠AMO=90°，
∴AM⊥MO．
点M在⊙O上，OM是⊙O的半径，
∴AM与⊙O相切．　
（2）在△BAC与△DAM中，
∵∠BAC=∠DAM，∠B=∠D，
∴△BAC∽△DAM，
∴$\frac{BC}{DM}$=$\frac{AC}{AM}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DM}{AM}$．
∵AM=3DM，
∴AC=3BC．BC=2，
∴AC=6，
在△DAM中，DM²+AD²=AM²
即DM²+2²=（3DM）²
解得DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．AM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
在△AMO中，AM²+MO²=AO²
即（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+MO²=（6-MO）²．
解得MO=$\frac{21}{8}$．

点评 此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．