Question

如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD．

（1）求证：AD平分∠CDE；

（2）对任意的实数b（b≠0），求证AD·BD为定值；

（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）证：由y=x＋b得   A（b，0），B（0，－b）. 

∴∠DAC=∠OAB=45 º

又DC⊥x轴，DE⊥y轴   ∴∠ACD=∠CDE=90º

∴∠ADC=45º     即AD平分∠CDE.

（2）由（1）知△ACD和△BDE均为等腰直角三角形.

∴AD=CD，BD=DE.

∴AD·BD=2CD·DE=2×2=4为定值.

（3）存在直线AB，使得OBCD为平行四边形.

若OBCD为平行四边形，则AO=AC，OB=CD.

由（1）知AO=BO，AC=CD

设OB=a (a＞0)，∴B（0，－a），D（2a，a）

∵D在y=上，∴2a·a=2   ∴a=±1(负数舍去)                  

∴B（0，－1），D（2，1）.

又B在y=x＋b上，∴b=－1

即存在直线AB:y=x－1，使得四边形OBCD为平行四边形.