如图1.ABCD是一张矩形纸片.AD=BC=1.AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M.在CD上取一点N.将纸片沿MN折叠.使MB与DN交于点K.得到△MNK.KB交MN于O．(1)①若∠1=80°.求∠MKN=20°,②不同的折叠得到不同的△MNK.△MNK的面积的最大值为$\frac{13}{10}$．(2)将纸片按如图2所示的方法再沿KP折叠.使点M在线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．如图1，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK，KB交MN于O．
（1）①若∠1=80°，求∠MKN=20°；
②不同的折叠得到不同的△MNK，△MNK的面积的最大值为$\frac{13}{10}$．
（2）将纸片按如图2所示的方法再沿KP折叠，使点M在线段KD上，两次折叠部分与原矩形的重合部分为四边形KPMN，设四边形KPMN的面积为S．
①判断四边形KPMN的形状，并说明理由；
②求出S的最小值与最大值；
③四边形KPMN能成为某种特殊四边形吗？指出此时折痕MN需要满足的条件，并求出S的值．

分析（1）①只要证明∠KNM=∠KMN=80°，即可解决问题．
②如图1中，当点B与点D重合时，△MKN的面积最大，设DM=x．根据勾股定理列出方程即可解决问题．
（2）①结论：四边形KPMN是平行四边形．只要证明KN=PM，KN∥PM即可．
②当点D与M重合，点B与点K重合时，S最大，设BD=B′D=BD′=x，A′P=C′N=y，由题意$\left\{\begin{array}{l}{2x+Y=5}\\{{x}^{2}=1+{y}^{2}}\end{array}\right.$，解方程组即可．当MK⊥A′B′时，根据垂线段最短可知，MK的最小值为1，此时S的最小值为1．
③当∠NMB′=60°或120°时，四边形KPMN是菱形．求出菱形的高和边长即可．

解答解：（1）①如图2中，

∵DN∥AM，
∴∠DNM=∠1=80°，
∵∠KMN=∠1=80°，
∴∠NKM=180°-∠KNM-∠KMN=20°，
故答案为20°．

②如图1中，当点B与点D重合时，△MKN的面积最大，设DM=x．

在Rt△AMD中，AD=1，AM=5-x，DM=x，
∴x²=1²+（5-x）²，
∴x=$\frac{13}{5}$，
由①可知∠DMN=∠DNM，
∴KN=DM=$\frac{13}{5}$，
∴△KNM的面积最大值为$\frac{1}{2}$•$\frac{13}{5}$•1=$\frac{13}{10}$．
故答案为$\frac{13}{10}$．

（2）①结论：四边形KPMN是平行四边形．
理由：如图3中，

∵A′B′∥C′D′，
∴∠KNM=∠NMB′=∠NMK，
∴KN=KM，同理可证KM=PM，
∴KN=PM，∵KN∥PM，
∴四边形KPMN是平行四边形．

②如图4中，

当点D与M重合，点B与点K重合时，S最大．设BD=B′D=BD′=x，A′P=C′N=y，
由题意$\left\{\begin{array}{l}{2x+Y=5}\\{{x}^{2}=1+{y}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10-\sqrt{22}}{3}}\\{y=\frac{2\sqrt{22}-5}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10+\sqrt{22}}{3}}\\{y=\frac{-5-2\sqrt{22}}{3}}\end{array}\right.$（舍弃）．
∴NK=$\frac{10-\sqrt{22}}{3}$，
∴S的最大值=$\frac{10-\sqrt{22}}{3}$．
当MK⊥A′B′时，根据垂线段最短可知，MK的最小值为1，此时S的最小值为1．

③四边形KPMN能成为某种特殊四边形，当∠NMB′=60°或120°时，四边形KPMN是菱形．
此时菱形的高为1，边长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、勾股定理、二元二次方程组、菱形的判定和性质等知识，第一个问题中的②解题的关键是正确寻找点B的位置，第二个问题中的②的解题关键是学会利用方程组解决问题，属于中考压轴题．

	A．	0.06=6×10^-3		B．	-0.000026=-2.6×10^-7
	C．	168000=1.68×10⁶		D．	28000000=2.8×10⁷

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