Question

【题目】如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点坐标为，以为直径作，与抛物线交于轴上同一点，连接、.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是延长线上一点，的平分线交于点，连接，求直线的解析式；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）符合条件的点有两个：，.

【解析】

（1）将点A代入解析式中即可求出抛物线的解析式；

（2）已知抛物线的解析式，可求出点B的解析式，还需要知道点D的坐标，CD平分，如果连接O’D，那么根据圆周角定理即可求出点D的坐标，然后用待定系数法求直线BD的解析式.

（3）假设存在点，使得，用直线DQ与抛物线解析式联立，如果能求出P的坐标，则存在，否则不存在.

（1）把代入解析式，可得：

∴

（2）由（1）易得：

∵为的直径，且，，

∴，，

∵点是延长线上一点，的平分线交于点，

∴，

连接，则，，.

∴轴∴.

∴设直线的解析式为，∴，解得，

∴直线的解析式为.

（3）假设在抛物线上存在点，使得，

设射线交于点，则弧与弧相等.

分两种情况（如图所示）：

∵，，，.

∴把点，绕点逆时针旋转，使点与点重合，则点与点重合，

因此，点符合题意，

∵，，

∴用待定系数法可求出直线解析式为.

解方程组得或

∴点坐标为，坐标为不符合题意，舍去.

∵，

∴点关于轴对称的点的坐标为也符合题意.

∵，.

∴用待定系数法可求出直线解析式为.

解方程组得或，

∴点坐标为，坐标为不符合题意，舍去.

∴符合条件的点有两个：，.