Question

如图所示，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O．求证： (1) ∠AOB＝120°； (2) CM＝CN； (3) MN∥AB．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	因为∠ACE＝∠ACD＋∠DCE，∠BCD＝∠BCE＋∠DCE． 　　又因为△ACD和△BCE都是等边三角形，所以AC＝CD，CE＝BC． 　　∠ADC＝∠DAC＝∠ACD＝∠BCE＝60°，所以∠ACE＝∠BCD． 　　在△ACE和△DCB中，所以△ACE≌△DCB． 　　所以∠2＝∠3．因为∠1＋∠2＝∠DAC＝60°，所以∠1＋∠3＝60°． 　　所以∠AOB＝∠1＋(∠4＋∠3)＝∠1＋∠3＋∠4＝60°＋60°＝120°．
(2)	因为∠ACD＝∠BCE＝60°，所以∠MCN＝60°． 　　在△CMA和△CND中， 　　所以△CMA≌△CND(ASA)，所以CM＝CN．
(3)	因为CM＝CN且∠MCN＝60°，所以∠CMN＝∠CNM＝(180°－60°)＝60°， 　　所以∠CMN＝∠MCA，所以MN∥AB．