Question

3．如图，已知点D为CB的中点，∠B=45°，CE⊥AD，AC⊥CB，连接DE，求证：CE+DE=AD．

Answer 1

分析 过点C作CF⊥AB，垂足为F，交AD于点H，易证△AFH≌△CFE，得HF=FE，AH=CE，则CH=BE，再证△CDH≌△BDE，得DH=DE，从而得出AD=CE+DE．

解答 解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，交AD于点H，
∵∠B=45°，CE⊥AD，AC⊥CB，
∴∠CAF=45°，AF=CF，∠FAH=∠FCE，
在△AFH和△CFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAH=∠FCE}\\{AF=CF}\\{∠AFH=∠CFE}\end{array}\right.$，
∴△AFH≌△CFE，
∴HF=FE，AH=CE，
∵CF=BF，
∴CH=BE，
在△CDH和△BDE中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠DCH=∠DBE}\\{CH=BE}\end{array}\right.$，
∴△CDH≌△BDE，
∴DH=DE，
∵AD=AH+DH，
∴AD=CE+DE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，构造全等三角形是解题的关键．