Question

如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点．

（1）求证：MN⊥AC；

（2）当AC=8cm，BD=10cm时，求MN的长．

Answer 1

（1）见解析（2）3cm

【解析】

试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定AM=MC=BD，从而推知N点是AC边上的中点，所以MN是AC的中垂线；

（2）在Rt△AMN中，利用勾股定理求得MN的长．

（1）证明：连接AM、MC．

在△DCB和△BAD中，∠DAB=∠DCB=90°，M是边BD的中点，

∴AM=MC=BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；

∵N是AC的中点，

∴MN⊥AC；

（2）【解析】
∵AC=8cm，BD=10cm，M、N分别是边BD、AC的中点．

∴AM=5cm，AN=4cm；

在Rt△AMN中，MN==3cm（勾股定理）．