Question

如图所示，已知在等腰三角形ABC中，AD为底边BC的中线，O为AD上任意一点，连接CO交AB于E，连接BO交AC于F，求证EF∥BC．

Answer 1

答案：略
解析：

∵AB=AC，AD为底边BC的中线， ∴AD⊥BC，BD=CD(等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)． 在△BOD与△COD中， ∴△BOD≌△COD， ∴OB=OC，∠OBD=∠OCD(全等三角形的对应边相等，对应角相等)． ∵AB=AC(已知)， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)， ∴∠ABC－∠OBD=∠ACB－∠OCD， 即∠EBO=∠FCO． 在△EOB和△FOC中， ∴△EOB≌△FOC， ∴BE=CF(全等三角形的对应边相等) ∴AB－BE=AC－CF，即AE=AF． ∴∠AEF=∠AFE(等边对等角)， ， 同理，，∴∠AEF=∠ABC， ∴EF∥BC(同位角相等，两直线平行)．

提示：

要证明EF∥BC，需证明同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补．因为△ABC为等腰三角形，若能证得△AEF也是以EF为底的等腰三角形就可以证出，那么怎么证明△AEF是等腰三角形呢？由给出条件容易证得△BOD≌△COD，从而有OB=OC，∠OBD=∠OCD，由此，还可以证明△OEB≌△OFC，所以有BE=CF．因此就可证明AE=AF．