Question

如图，在平面直角坐标系中有两点A、B，请回答下列问题：
（1）在图（1）中找出点A、点B关于y轴的对称点D、C，将A、B、C、D四点顺次连接起来，并回答四边形ABCD是什么四边形？（直接回答）
（2）若点P从B点出发，以每秒钟2的速度沿B→C的方向运动，求经过几秒钟后，AP所在的直线将四边形ABCD的面积分成2：3．
（3）在线段BC上有一点E，△ABE是等腰三角形，将直线AE绕点E顺时针旋转45°后与直线DC交于点F，求F点的坐标．（图（2）、（3）、（4）为备用图）

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据题意容易得出四边形ABCD是等腰梯形；
（2）设经过t秒，先求出等腰梯形ABCD的面积，即可求出t的值；
（3）分三种情况讨论：①当AE=BE时，②当AE=AB时，③当BE=BA时，分别求出F的坐标即可．

解答： 解：（1）如图1所示：四边形ABCD是等腰梯形；

（2）如图2所示：

设经过t秒后，AP所在的直线将四边形ABCD的面积分成2：3；
∵AD=2，BC=8，
∴S_{等腰梯形ABCD}=

1

2

（2+8）×3=15，
∴S_△ABP=

1

2

×2t×3=3t=15×

2

5

=6，
∴t=2，
即经过2秒后，AP所在的直线将四边形ABCD的面积分成2：3；
（3）分三种情况讨论：①如图3所示，
根据题意：当AE=BE时，作FG⊥BC于G；

∴点E在AB的垂直平分线上，点E的坐标为（-1，0），
∴∠AEC=90°，
∵∠AEF=45°，
∴∠FEC=45°，
由图形得：∠C=45°，
∴∠EFC=90°，
∵CE=1+4=5，
∴FG=EG=

1

2

CE=

5

2

，
∴OG=

3

2

，∴F（

3

2

，

5

2

）；
②如图4所示，

当AE=AB时，
∵AB=CD，
∴AE=CD，
∵∠ABC=45°，
∴∠AEB=45°，
∴AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD=2，
∴OE=2，
∴EF=2，
∴F（2，2）；
③如图5所示：

当BE=BA时，作FG⊥BC于G，
∵BE=BA=3

2

，∠ABC=45°，
∴E（3

2

-4，0），∠AEB=∠EAB=67.5°，
∴OE=3

2

-4，
∴CE=5-（3

2

-4）=9-3

2

，∠CEF=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴CE=CF，
∵∠C=45°，
∴△CEF∽△BAE，
∴

FG

3

=

CE

AB

=

9-3 2

3 2

，
∴FG=

9 2 -6

2

，
∴CG=FG=

9 2 -6

2

，
∴OG=4-

9 2 -6

2

=7-

9 2

2

，
∴F（7-

9 2

2

，

9 2

2

-3）；
综上所述：点F的坐标为（

3

2

，

5

2

），或（2，2），或（7-

9 2

2

，

9 2

2

-3）．

点评：本题考查了点的坐标、等腰梯形的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质；培养学生综合运用定理进行推理和计算解决问题的能力；特别注意（3）中利用分类讨论的方法求解，避免漏解．