题目内容
如图，在等腰梯形ABCE中，BC∥AE且AB=BC，以点E为坐标原点建立平面直角坐标系，若将梯形ABCD沿AC折叠，使点B恰好落在x轴上点D位置，过C、D两点的直线与y轴交于点F．（1）试判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明你的理由；
（2）如果∠BAE=60°，AB=2cm，那么在y轴上是否存在一点P，使以P、D、F为顶点的三角形构成等腰三角形，若存在，请求出所有可能的P点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若将△EDF沿x轴正方向以1cm/s的速度平移到点E与点A重合时为止，设△EDF在平移过程中与△ECA重合部分的面积为S，平移的时间为x秒，试求出S与x之间的函数关系式及自变量范围，并求出何时S有最大值，最大值是多少？
分析：（1）由已知易得AB=BC=DA=AB，所以四边形ABCD为菱形．
（2）若△PDF等腰三角形DF可能为腰，分别讨论找出相关系并求出坐标进行判断．
（3）由（2）可得，AE=DE+AD=4cm，则DE=2，AD=2，设△DEF平移到△D′E′F′，则EE′=x，E′M=
x，AD'=AE-D′E′-EE'=4-2-x=2-x，可得S△EME′=
x2，S△AD′N=
（2-x）2，则S=S△ADE-S△EME′-S△AD′N，代入整理可得S与x的解析式，根据二次函数的性质求得最大值即可．
（2）若△PDF等腰三角形DF可能为腰，分别讨论找出相关系并求出坐标进行判断．
（3）由（2）可得，AE=DE+AD=4cm，则DE=2，AD=2，设△DEF平移到△D′E′F′，则EE′=x，E′M=
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解答：解：（1）四边形ABCD为菱形．
理由如下：因为点B和点D关于直线AC对称所以AB=AD，BC=DC．由AB=BC得AB=BC=DA=AB，所以四边形ABCD为菱形．
（2）因为四边形ABCD为菱形，所以DF∥AB，所以∠CDE=∠CED=60°，所以△CDE为等边三角形，所以DE=CD=AB=2cm．在Rt△DEF中，DF=DEcos60°=2cos60°=4cm．
①如果以F为顶点，即FP=FD时，P点坐标为（0，4+2
），（0，2
-4）；
②如果以P为顶点，即PF=PD时，P点坐标为（0，
）；
③如果以D为顶点，即DF=DP时，P点坐标为（0，-2
）．
综上所述，P点坐标为（0，4+2
），（0，2
-4），（0，
），（0，-2
）．
（3）
由（2）可得，AE=DE+AD=4cm，则DE=2，AD=2
①设△DEF平移到△D′E′F′，则EE′=x，E′A=4-x，AD'=AE′-E′D′=4-x-2=2-x，
可得S△A′ME′=
（4-x）2，S△AD′N=
（2-x）2，
则S=S△A′ME′-S△AD′N=
（4-x）2-
（2-x）2（0≤x≤1）；
②设△DEF平移到△D′E′F′，则EE′=x，E′M=
x，AD'=AE-D'E′-EE′=4-2-x=2-x
可得S△EME′=
x2
S△AD′N=
（2-x）2，
则S=S△AME-S△EME′-S△AD′N=
×2×2
-
x2-
（2-x）2=-
x2+
x+
（1≤x≤2）
当x=-
=-
=
，则当x=1时，S有最大值是：
（2-1）2=
；
③设△DEF平移到△D′E′F′，则EE′=x，AE′=4-x，
可得S=S△A′ME′=
（4-x）2（2≤x≤4）．
理由如下：因为点B和点D关于直线AC对称所以AB=AD，BC=DC．由AB=BC得AB=BC=DA=AB，所以四边形ABCD为菱形．
（2）因为四边形ABCD为菱形，所以DF∥AB，所以∠CDE=∠CED=60°，所以△CDE为等边三角形，所以DE=CD=AB=2cm．在Rt△DEF中，DF=DEcos60°=2cos60°=4cm．
①如果以F为顶点，即FP=FD时，P点坐标为（0，4+2
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②如果以P为顶点，即PF=PD时，P点坐标为（0，
2
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③如果以D为顶点，即DF=DP时，P点坐标为（0，-2
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综上所述，P点坐标为（0，4+2
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2
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（3）
由（2）可得，AE=DE+AD=4cm，则DE=2，AD=2
①设△DEF平移到△D′E′F′，则EE′=x，E′A=4-x，AD'=AE′-E′D′=4-x-2=2-x，
可得S△A′ME′=
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则S=S△A′ME′-S△AD′N=
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②设△DEF平移到△D′E′F′，则EE′=x，E′M=
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可得S△EME′=
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S△AD′N=
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则S=S△AME-S△EME′-S△AD′N=
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当x=-
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2×(-
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③设△DEF平移到△D′E′F′，则EE′=x，AE′=4-x，
可得S=S△A′ME′=
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点评：本题考查梯形，菱形、直角三角形、二次函数的相关知识的理解及运用，综合性强，做题时要注意知识点之间的联系．
练习册系列答案
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