Question

1 2 = 1 1×2 =1- 1 2 1 6 = 1 2×3 = 1 2 - 1 3 1 12 = 1 3×4 = 1 3 - 1 4

…
观察这组等式的规律，完成下列各题
（1）

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

10×11

（2）若

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

11×13

+

n

13

=-1，求n的值．

Answer 1

分析：（1）利用

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

计算即可；
（2）利用

1

n(n+2)

=

1

2

×（

1

n

-

1

n+1

）先化简，再解关于n的方程求解即可；

解答：解：（1）

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

10×11

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

10

-

1

11

，
=1-

1

11

，
=

10

11

；

（2）

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

11×13

+

n

13

=-1，

1

2

×（ 1-

1

3

）+

1

2

×（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

×（

1

11

-

1

13

）+

n

13

=-1，

1

2

-

1

2

×

1

13

+

n

13

=-1，
13-1+2n=-26，
n=-19．
故n的值为19．

点评：本题考查了分数的拆分运算，解题关键是将一个分数拆分成两项，再两两抵消，达到化简的目的．