Question

（2012•成华区一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AB=5cm．点P从点A出发沿AC以1.5cm/s的速度向点C匀速运动，到达点C后立刻以原来的速度沿CA返回；点Q从点B出发沿BA以1cm/s的速度向点A匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线PC-CB-BQ于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0），则当t=

25

11

或

40

23

秒时，四边形BQDE为直角梯形．

Answer 1

分析：由四边形QBED为直角梯形，分为∠PQB=90°和∠CPQ=90°两种情况，得出三角形相似，利用相似比求出相应t的值即可．

解答：解：在Rt△ABC中，BC=3cm，AB=5cm，
根据勾股定理得：AC=

AB2-BC2

=4cm，
设P、Q运动t秒时，四边形QBED为直角梯形，
①当∠PQB=90°时，得DE∥QB，
则四边形QBED是直角梯形（如图1），
此时△APQ∽△ABC，
则

AQ

AC

=

AP

AB

，即

5-t

4

=

1.5t

5

，
解得：t=

25

11

；
②当∠CPQ=90°时，得PQ∥BC，
则四边形QBED是直角梯形（如图2），
此时△APQ∽△ACB，
则

AQ

AB

=

AP

AC

，即

5-t

5

=

1.5t

4

，
解得：t=

40

23

，
综上，当点P、Q运动

25

11

或

40

23

秒时，四边形QBED是直角梯形．
故答案为：

25

11

或

40

23

点评：此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角梯形的性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，解题的关键是由直角梯形的直角的可能情况，利用平行线得相似三角形，分类求解．